В прямоугольной системе координат

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

 Двойной интеграл

Определение и свойства двойного интеграла

Определение 1: Пусть в замкнутой области  плоскости  определена функция . Разобьем область  сетью кривых на конечное число областей         , площади которых обозначим .

           В i-й частичной области , возьмем произвольную точку  и значение функции в данной точке  умножим на площадь  этой области.

Составим аналогичные произведения по всем частичным областям   и, просуммировав полученные произведения, будем иметь

                                               (1).

Сумма (1) называется интегральной суммой для функции                       в области .

       Обозначим через  наибольший из диаметров частичных областей .

       Если при стремлении к нулю  интегральная сумма (1) имеет определенный конечный предел I, не зависящий ни от способа деления области  на частичные области , ни от выбора точек  в каждой из них,    то этот предел называется двойным интегралом от функции  в области  и обозначается .

       Отметим достаточные условия существования двойного интеграла.

Теорема 1(достаточные условия существования двойного интеграла): Если в замкнутой ограниченной области  однозначная функция  непрерывна, то двойной интеграл от этой функции по области  существует.

Свойства

. Двойной интеграл не зависит от обозначения переменных интегрирования.

. Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла

. Двойной интеграл от суммы двух (и более) функций равен сумме двойных интегралов от слагаемых

. Если область  интегрирования разбита на две области  и   то

.

. Если всюду в области , то .

 Если в области , то .

. Если функция  задана в области , то

.

      .

. (Теорема о среднем): Если функция  непрерывна в замкнутой области , то в этой области существует точка , такая что

.

      . Если функция  интегрируема в области , то имеет место оценка

,

где  площадь области ;  - наименьшее, а  - наибольшее значения функции  в области .

Вычисление двойных интегралов

в прямоугольной системе координат

       Пусть требуется найти значение двойного интеграла.

Определение: Плоская область  называется правильной в направлении оси  (рис. 1), если любая прямая, параллельная оси , пересекает границу области не более чем в двух точках. Точка входа в область (как и точка выхода) лежит на линии, уравнение которой задано одним аналитическим выражением.

       Покажем, что, если область  – правильная, то вычисление двойного интеграла сводится к вычислению повторного интеграла, то есть                            к последовательному интегрированию функции  по каждой                        из переменных.

Найдем объем, воспользовавшись формулой вычисления объема                по известным площадям поперечных сечений .

Будем считать, что  - правильная в направлении оси OY. Спроектируем ее на ось ОХ, полагая  (рис.2). Точки А и В разделяют  на линии АКВ, ее уравнение  и АNB, ее уравнение .

Проведем перпендикулярную оси ОХ плоскость, которая пересечет данное тело по некоторой криволинейной трапеции . Площадь сечения  зависит от  и может быть вычислена с помощью определенного интеграла .

Тогда .

       С другой стороны, , получаем формулу

                              (1).

Интеграл, стоящий в правой части (1) – повторный; a и b – внешние пределы интегрирования (они всегда постоянны),  и  – внутренние пределы интегрирования (они могут быть как постоянными, так и переменными). Вначале вычисляется внутренний интеграл, при этом вторая переменная (для записанной формулы - ), соответствующая внешнему интегралу, считается постоянной, а затем внешний интеграл.

       Для расстановки пределов интегрирования в двойном интеграле достаточно изобразить в  область интегрирования .

       Порядок интегрирования можно изменить: внутренний интеграл вычислить по переменной , а внешний – по . Допустим, что область  - правильная в направлении оси ОХ (рис. 3). Спроектируем область   на ось OY, , уравнение линии NAK ; NBK - .

Тогда

.