Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат

Осуществим в двойном интеграле , заданном в декартовой системе координат, замену переменных по известным формулам: . В этом случае подынтегральная функция будет зависеть от полярных координат  и : .

Двойной интеграл в полярных координатах

.

       Область  такова, что любой луч, выходящий из начала координат и проходящий через внутреннюю точку области, пересекает границу  не более чем в двух точках, т.е.        является правильной применительно к полярным координатам.

Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двукратного интеграла по переменным  и . Для расстановки пределов интегрирования из полюса проводят ограничивающие лучи  и . Записывают уравнения линий (AMB) , и (AKB) , тогда , .

Как правило, внешний интеграл вычисляется по переменной ,                         а внутренний по

.

Если область  такова, что полюс находится в ее внутренней точке и любой луч, выходящий из полюса, пересекает границу  только в одной точке, то формула для вычисления двойного интеграла в полярных координатах

.