Темы: Алгебра событий; Формула полной вероятности и формула Байеса; Формула Бернулли, предельные теоремы.

Задание №9. Решить следующие задачи:

№ варианта	Задачи
1.	В партии готовой продукции, состоящей из 25 деталей, 5 бракованных. Определить вероятность того, что при случайном выборе четырех деталей; а) все они окажутся небракованными; б) бракованных и небракованных изделий будут поровну.
	Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого 0,75;.для второго 0,9, третьего 0,8. Найти вероятность того, что: а) два стрелка попадают в.цель; б) только один; в) хотя бы один стрелок попадает в цель.
2.	Среди 20 студентов группы, из которых 12 девушек, разыгрывается 5 билетов. Какова вероятность того, что: а) все они достанутся девушкам; б) среди обладателей билетов окажутся 3 юноши?
	Вероятность того, что нужная сборщику деталь содержится в первом, втором, третьем и четвертом ящике соответственно равна 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что деталь содержится: а) не более чем в трех ящиках; б) не менее чем в двух.
3.	Среди 50 лампочек 4 нестандартные. Найти вероятность того, что из трех наугад взятых лампочек: а) стандартных окажется не менее двух; б) по крайней мере одна нестандартная.
	Производственная фирма имеет три склада. Вероятность того, что определенный товар имеется в наличии на первом, втором, третьем складе равна соответственно 0,9; 0,8; 0,7. Найти вероятность того, что товар имеется в наличии а) хотя бы на одном складе; б) не менее, чем на двух складах.
4.	В читальном зале имеется 7 учебников по теории вероятностей, из которых 3 в переплете. Библиотекарь наугад взял 3 учебника. Какова вероятность, что среди них окажется: а) не более одного в переплете; б) по крайней мере один учебник в переплете?
	Вероятность того, что нужный товар имеется на первом, втором, третьем или четвертом магазине, равна соответственно 0,9; 0,8; 0,6; 0,4.Найти вероятность того, что нужный товар имеется: а) не менее, чем в двух магазинах; б) не более, чем в трех магазинах.
5.	Из партии, в которой 34 детали без дефектов и 6 с дефектами, берут наудачу 3 детали. Чему равна вероятность того, что окажутся: а) все три детали без дефектов; б) по крайней мере одна деталь без дефектов?
	Вероятность того, что нужный товар имеется в первом, втором, третьем или четвертом магазине, равна соответственно 0,9; 0,8; 0,6; 0,4. Найти вероятность того, что нужный товар имеется: а) не менее, чем в двух магазинах; б) не более чем в трех магазинах.
6.	На 30 студентов для производственной практики предоставлено 10 мест в Саратове, 8 - в Казани, остальные в Самаре. Какова вероятность того, что три определенных студента попадут на практику в один город?
	В двух ящиках находятся детали: в первом 10 штук, из них 4 стандартных, во втором - 12 деталей, из них 5 стандартных. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность следующих событий: а) обе детали нестандартные; б) одна деталь стандартная, а другая нестандартная.
7.	Из 25 лотерейных билетов 4 выигрышных. Наудачу вынимают 3 билета. Какова вероятность того, что среди них окажется: а) не более одного выигрышного билета; б) хотя бы одни выигрышный?
	Вероятность того, что частный предприниматель получит ссуду в первом, втором, третьем банке, равна соответственно 0,4; 0,5; 0,6. Предприниматель последовательно обращается во все три банка, начиная с первого. В следующий банк предприниматель обращается лишь в случае отказа в предыдущем банке. Найти вероятность того, что предприниматель получит ссуду.
8.	В партии 300 деталей: 200 деталей первого сорта, 60 деталей второго сорта, остальные - третьего сорта. Какова вероятность того, что наугад отобранные две детали будут одного сорта?
	Сброшены три бомбы с вероятностью попадания соответственно 0,7; 0,4; 0,35. Найти вероятность того, что а) в цель попадает только одна бомба; б) цель поражена.
9.	Из 25 студентов группы 15 направлены на сельхозработы, остальные в составе стройотряда уехали в другой город на стройку. Какова вероятность того, что два друга из группы вместе окажутся либо на стройке, либо на сельхозработах?
	Вероятность того, что нужный товар имеется в наличии только в одном из двух магазинов, равна 0,26. Найти вероятность наличия товара во втором магазине, если вероятность наличия товара в первом магазине равна 0,9.
10.	Из 20 филиалов банка 10 являются региональными. Для проверки случайным образом выбраны 5 филиалов. Каков вероятность того, что среди них окажется: а) не менее 3-х региональных филиалов; б) хотя бы один региональный?
	На одной базе имеется 100 компьютеров, 12 из которых с дефектом. На второй 90 компьютеров, 9 из которых с дефектом. На третьей 80 компьютеров, 10 из которых с дефектом. Фирма приобрела по одному компьютеру на каждой базе. Найти вероятность того, что а) все компьютеры без дефекта; б) хотя бы один с дефектом.
11.	Руководитель компании решил воспользоваться услугами двух из трех транспортных фирм. Вероятности несвоевременной доставки груза для первой, второй, и третьей фирм равна соответственно 0,05; 0,1 и 0, 07. Сопоставив эти данные с данными о безопасности грузоперевозок, руководитель пришел к выводу о равно значимости выбора, и решил сделать его по жребию. Найти вероятность того, что отправленный груз будет доставлен своевременно
	В среднем 20% пакетов акций на аукционах продаются по первоначально заявленной цене. Найти вероятность того, что из 8 пакетов акций по первоначально заявленной цене будут проданы: а) не менее трех; б) от двух до четырех включительно.
12.	На складе телевизионного ателье имеется 70% кинескопов, изготовленных заводом №1, остальные кинескопы изготовлены заводом №2. Вероятность того, что кинескоп не выйдет из строя в течение гарантийного срока службы, равна 0,8 для кинескопа завода №1 и 0,7 для кинескопа завода №2. Найти вероятность того, что наудачу взятый кинескоп выдержит гарантийный срок службы.
	Два дилера имеют по 3 пакета акций. Вероятность продажи каждого пакета равны соответственно 0,6 - для первого дилера и 0,7 - для второго. Найти вероятность того, что первый дилер продаст больше пакетов акций, чем второй.
13.	На склад поступает продукция трех фабрик, причем продукция I фабрики составляет 20%, П - 46% и третьей - 34%. Известно также, что средний процент нестандартных изделий для 1 фабрики равен 5%, для П - 2% и для Ш - 1%. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие произведено на первой фабрике, если оно оказалось стандартным.
	В банк отправлено 4000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что в пакете содержит недостаточное или избыточное число денежных знаков, равна 0,0001. Найти вероятность того, что при поверке будет обнаружено: а) три ошибочно укомплектованных пакета; б) не более трех ошибочно укомплектованных пакетов.
14.	В магазин поступают лампочки, изготовленные на 3 заводах. С I завода поступают 50% всех лампочек, со И - 30% и с Ш - 20%. Среди лампочек, изготовленных I заводом - 80% 1 сорта, в продукции II завода лампочки 1 сорта составляют 70%, а продукции Ш - 60%. Какова вероятность того, что купленная в этом магазине лампочка окажется 1 сорта.
	На базу отправлено 10000 изделий. Вероятность того, что изделие будет повреждено в пути, равна 0,0003. Найти вероятность того, что на базу прибудет: а) три поврежденных изделия; б) более трех поврежденных изделий.
15.	На склад поступают одинаковые электрические утюги. I завод поставляет 80%, П - 20% всего количества. Известно, что I завод выпускает 90% продукции, способной прослужить положенный срок, а II - 95%. Какова вероятность, что наугад взятый утюг прослужит положенный срок?
	Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,01. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 800 пассажиров и вероятность такого числа опоздавших.
16.	Устройство содержит два узла. Работа каждого узла необходима для работы устройства в целом. Вероятность выхода из строя I узла равна 0,01, II - 0,03. Вышел из строя один из узлов. Какова вероятность, что вышел из строя первый узел?
	Вероятность того, что изделие, имеющее дефект, пройдет входной контроль, равна 0,002. Наши вероятность того, что из партии, содержащей 500 дефектных изделий, входной контроль пройдут: а) 2 дефектных изделия; б) более 2 дефектных изделий.
17.	В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. 1 автомат дает 3% брака, П - 1 % и Ш - 2%. Определить вероятность попадания на сборку небракованной детали, если с каждого автомата поступило соответственно 500,200, 300 деталей.
	На предприятия работает 1460 сотрудников. Найти вероятность того, что 31 декабря является днем рождения: а) двух сотрудников; б) не менее двух сотрудников.
18.	Известно, что в партии из 600 электрических лампочек 200 лампочек изготовлены на I заводе, 250 - на П и 150 - на Ш. Известны также вероятности 0,97; 0,91 и 0,93 того, что лампочка окажется стандартной при изготовлении ее соответственно I, II и Ш заводами. Какова вероятность того, что наудачу выбранная из данной партии лампочка окажется стандартной?
	Вероятность изготовления нестандартного изделия при массовом производстве равна 0,001. Найти вероятность того, что в партии из 2000 изделий окажется: а) 3 нестандартных изделия; б) менее 1998 стандартных.
19.	На заводе болты изготавливаются на трех станках; они производят соответственно 25, 30 и 45% всего количества болтов. В продукции станков брак составляет соответственно 4, 3 и 2%. Какова вероятность, что болт, случайно взятый из всей поступившей продукции, окажется дефектным?
	Телефонный кабель состоит из 400 пар. Вероятность того, что пара повреждена, равна 0,0125. С какой вероятностью этим кабелем можно подключить к телефонной сети 395 абонентов, если для подключения каждого абонента нужна одна пара.
20.	На заводе болты изготавливаются на трех станках, которые производят соответственно 25, 30 и 45% всего количества болтов. В продукции станков брак составляет соответственно 4, 3 и 2%. Какова вероятность, что болт, случайно взятый из всей поступившей продукции, окажется годным?
	В страховой компании от несчастного случая застраховано 10000 человек. Вероятность несчастного случая равна 0,0004. При возникновении несчастного случая клиенту компании выплачивается страховая сумма. Найти вероятность того, что страховую сумму придется выплатить: а) 4 клиентам; б) менее чем 2 клиентам.
21.	В среднем по 15% договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из десяти договоров с наступлением страхового случая будет связана выплата страховой суммы: а) три договора; б) менее двух договоров.
	В штате предприятия состоит 730 сотрудников. Найти вероятность того, что день рождения двух любых сотрудников на один и тот же день.
22.	Предполагается, что 10% открывающихся новых малых предприятий прекращают свою деятельность в течении года. Какова вероятность того, что из шести малых предприятий в течении года прекратят свою деятельность: а) не более двух; б) более трех?
	Полиграфическая фирма издала рекламные проспекты тиражом 1000 экземпляров. Вероятность того, что отдельный экземпляр проспекта окажется бракованным, равна 0,002. Найти вероятность того, что: а) тираж содержит 2 бракованных проспекта: б) по крайней мере 998 проспектов не будут иметь дефектов.
23.	Инвестор вложил поровну средства в три предприятия при условии возврата ему через определенный срок 150% от вложенной суммы. Вероятность банкротства каждого из предприятий равна 0,2. Какова вероятность того, что по истечении срока инвестор не останется в убытке?
	Вероятность того, что сошедшая с конвейера деталь стандартная, равна 0,9. Найти вероятность того, что из 400 сошедших с конвейера деталей 356 окажутся стандартными.
24.	Два дилера имеют по 3 пакета акций. Вероятность продажи каждого пакета акций равны соответственно 0,7 - для первого дилера и 0,8 - для второго. Найти вероятность того, что у обоих будет одинаковое количество продаж.
	В некотором городе из каждых 100 семей 80 имеют видеомагнитофоны. Найти вероятность того, что из 400 семей 300 имеют видеомагнитофоны.

Задание №10. Тема: Закон распределения дискретной случайной величины.

Выполнить следующее задание:

№ варианта	Задание
1.	Из ящика с шестью деталями, из которых четыре стандартные, наудачу извлечены три детали. Составить закон распределения случайной величины X – числа стандартных деталей среди извлеченных. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины X.
2.	В рекламных целях торговая фирма вкладывает в каждую десятую единицу товара денежный приз размером 1 тыс. руб. Составить закон распределения случайной величины - размера выигрыша при пяти сделанных покупках. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
3.	Контрольная работа состоит из трех вопросов. На каждый вопрос приведено четыре ответа, один из которых правильный. Составить закон распределения числа правильных ответов при простом угадывании. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
4.	В среднем по 10% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Составить закон распределения числа таких договоров среди наудачу выбранных четырех. Вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
5.	В экзаменационном билете три задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй - 0,8, третьей - 0,7. Составить закон распределения числа правильно решенных задач в билете и вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
6.	Имеются три пакета акций. Найти закон распределения числа пакетов, по которым владельцем будет получен доход, если вероятность получения дохода по каждому из пакетов равна соответственно 0,5; 0,6; 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины.
7.	Экзаменатор задает студенту вопросы, пока тот правильно отвечает. Как только число правильных ответов достигнет четырех либо студент ответит неправильно, экзаменатор прекращает задавать вопросы. Вероятность правильного ответа на один вопрос равна 0,7. Составить закон распределения числа вопросов, заданных студенту.
8.	Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения числа возвращенных в срок кредитов из 5 выданных. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины.
9.	Каждый абитуриент, поступающий в институт. Должен сдать три экзамена. Вероятность успешной сдачи первого экзамена равна 0,8, второго - 0,7, третьего - 0,6. Следующий экзамен абитуриент сдает только в случае успешной сдачи предыдущего. Составить закон распределения числа экзаменов, сдававшихся абитуриентом. Найти математическое ожидание этой случайной величины.
10.	Менеджер торгового зала наблюдает за работой трех продавцов. Вероятность того, что в течение часа не потребуется помощь менеджера, для первого продавца равна0,7, для второго - 0,6, для третьего — 0,4. Составить закон распределения случайной величины X - числа продавцов, которым потребуется помощь менеджера. Вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
11.	Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью р появления события А в каждом отдельном испытании. Найти вероятность р появления события А в одном испытании, если дисперсия числа появлений события А в трех независимых испытаниях равна 0,63 и Р(А) > 0,5.
12.	Случайная величина X может принимать три частных значения О, 1 и 2. Определить вероятность получения этих значений, если математическое ожидание случайной величины X равно 0,9, а дисперсия 0,69.
13.	Случайная величина Х может принимать два значения Х1 и Х2 с вероятностями 0,6 и 0,4. Найти значенияХ1 и Х2, если известно, что математическое ожидание случайной величины X равно 24, дисперсия равна 0,24 и Х1>X2.
14.	Производятся три независимых испытания с одинаковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти вероятность р появления события А в каждом отдельном испытании, если известно, что вероятность наступления события А от одного до двух раз равна Р(1, 2) = 0,27 и р < 0,5.
15.	Дискретная случайная величина X имеет только три возможных значения: X1=1, Х2,X3, причем X3 > Х2 > X1. Вероятность того, что X примет значение X1 и X2 равна 0,3 и 0,2, соответственно. Найти закон распределения величины X, зная ее математическое ожидание М(Х) = 2,2 и дисперсию D(X) = 0,76.
16.	Известно, что случайная величина X может принимать только три значения: 2 ,3 и 4. Определить вероятности этих значений, если известны математическое ожидание и дисперсия случайной величины: М(Х) = 3,2; D(X) = 0,76.
17.	Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: X1 и X2, причем X2 > X1. Вероятность того, что X примет значение X1, равна 0,2. Найти закон распределения величины X, зная ее математическое ожидание М(X) = 2,6 и среднее квадратичное отклонение (Х) = 0,8.
18.	Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти вероятность р появления события А в каждом отдельном испытании, если известно, что среднее квадратичное отклонение числа появлений события А в четырех независимых испытаниях равно 0,6 и р < 0,5.
19.	Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: X1 и X2, причем X2 > X1. Вероятность того, что X примет значение X1 равна 0,6. Найти закон распределения величины X, зная ее математическое ожидание и дисперсия известны: М(X) = 1,4, D(X)= 0,24.
20.	Производятся четыре независимых испытания с одинаковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти вероятность того, что событие А появится не менее трех раз, если известно, что математическое ожидание числа появлений события А равно 3,6.
21.	В круге радиуса R находится круг вдвое меньшего радиуса. В большой круг брошены три точки так, что попадание каждой в любое место большого круга равновозможно. Дискретная случайная величина – число точек, попавших в меньший круг. Найти закон распределения, числовые характеристики, функцию распределения и построить ее график.
22.	По каналу связи передаются последовательно два сообщения, каждое из которых может быть искажено. Вероятности искажения первого и второго сообщения соответственно равны 0,2 и 0,1. Дискретная случайная величина - число правильно переданных сообщений. Найти закон распределения, числовые характеристики, функцию распределения и построить её график.
23.	Стрелок имеет три патрона. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,8. При попадании в мишень стрельба прекращается. Дискретная случайная величина - число израсходованных патронов. Найти закон распределения, числовые характеристики, функцию распределения и построить её график.
24.	В лифт пятиэтажного дома на первом этаже вошли три человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью может выйти на любом этаже, начиная со второго. Дискретная случайная величина - число пассажиров, вышедших на четвёртом этаже. Найти закон распределения, числовые характеристики, функцию распределения и построить её график.