Комплексный (символический) метод расчета цепей синусоидального тока

Вектор синусоидально изменяющейся величины может быть представлен и на комплексной плоскости. Комплексные представления позволяют совместить простоту и наглядность векторных диаграмм, имеющим недостаток – ограниченную точность, с возможностью проведения точных аналитических расчетов. При оперировании с векторами можно воспользоваться теорией, разработанной для комплексных чисел. Вектору, расположенному на комплексной плоскости, однозначно соответствует комплексное число. В соответствии с формулой Эйлера для комплексного числа равнозначны алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи. При суммировании комплексных чисел удобна алгебраическая форма, при умножении и делении – показательная.

Использование комплексной формы представления позволяет заменить геометрические операции над векторами алгебраическими операциями над комплексными числами. В результате этого к анализу цепей переменного тока могут быть применены все методы анализа цепей постоянного тока.

Следует обратить внимание на то, что комплексные изображения, как и векторные диаграммы, несут информацию только о двух параметрах синусоиды – амплитуде и начальной фазе, не отражая ее третьего параметра – угловую частоту ω. Векторы на комплексной плоскости и соответствующие им комплексные числа принято изображать той же буквой, что и амплитуду изображаемой синусоиды с точкой наверху.

Мнимая единица в электротехнике обозначается символом j , поскольку символ i используется для обозначения мгновенного тока.

            Ток i(t) = I_m sin(ωt + φ_о) можно представить комплексным числом Í_m на комплексной плоскости

где амплитуда тока I_m – модуль, а угол φ_о, являющийся начальной фазой, – аргумент комплексного тока.

Все параметры цепи представляются в комплексной форме.

Алгебраическая форма записи комплексного числа: İ_m =  I_m^’ + j I_m^’’, при записи в тригонометрической форме       проекции вектора выражают через его длину I_m  и угол φ_о: İ_m =  I_mcosφ_о + j I_msinφо =  I_m(cosφ_о + j sinφ_о). Показательная форма записи имеет вид İ_m = I_me ^jφо .

В этих выражениях I_m = √ (I_m^{’ 2}+ I_m^’’2 ) – модуль комплексного числа, φ_о  = arctg(I_m^’’/ I_m^’) - его аргумент,  I_m^’= I_mcos φ_о, I_m^’’= I_msin φ_о.

– комплексное действующее значение силы тока (без индекса m); здесь I = I_m/√2;
– комплексное действующее значение напряжения (без индекса m); U =U_m/√2.

Пример, представить комплексное действующее значение тока         

в показательной форме. Ответ:

.