Нелинейные модели регрессии и их линеаризация.

I класс: регрессии, нелинейные относительно включённых параметров, но линейные по оцениваемым параметрам.

1)  или полиномы различных степеней;

2) равносторонняя гипербола ; ; .

II класс: регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

1) степенная

2) показательная

3) экспоненциальная

Нелинейная регрессия по включённым переменным определяется как в ЛР методом наименьших квадратов (МНК), ибо эти функции линейны по параметрам. Так в параболе второй степени

                   ,заменим ,  получим двухфакторное уравнение линейной регрессии

Для уравнения третьего порядка

получим трехфакторную модель ЛР.

                      .

Для полинома к-го порядка

                       , получим линейную модель множественной регрессии с k объясняющими переменными

                        .

Следовательно, полином любого порядка сводится к линейной регрессии с её методами оценивания параметров и проверки гипотез. Как показывает опыт, чаще используется парабола второй степени, редко – полином третьего порядка. Ограничения в использовании полиномов более высокой степени связаны с требованием однородности исследуемой совокупности, чем выше порядок полинома, тем больше изгибов имеет кривая и соответственно, менее однородна совокупность по результативному признаку.

Парабола второй степени целесообразна, если для определенного интервала значений фактора меняется характер связи рассмотренных признаков: прямая связь меняется на обратную или обратная на прямую. В этом случае определяется значение фактора, при котором достигается максимальное (или минимальное) значение результативного признака: приравниваем нулю первую производную

    , , , .

Исходные данные не обнаруживают изменения направленности связи  и параметры параболы второго порядка становятся трудно интерпретированными, а форма связи часто заменяется другими, нелинейными моделями.

МНК для параболы:

Решение методом Крамера:

                         ,

где - главный определитель системы,

частные определители.

При b > 0 и c < 0 кривая симметрична относительно высшей точки, то есть мочки перелома кривой. В экономике, зависимость зарплаты работников физического труда от возраста – с увеличением возраста повышается зарплата ввиду повышения опыта и квалификации работника. Однако с определённого возраста ввиду старения организма и снижения производительности труда может приводить к снижению заработной платы.

Равносторонняя гипербола для уравнения имеет вид  Используется для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива с объёмом выпускаемой продукции, времени обращения товаров от величины товарооборота, то есть на микро- и макроуровнях. Классическим примером её является кривая Филипса, характеризующая нелинейное соотношение между нормой безработицы x и % прироста зарплаты у: .

Английский экономист Филипс А. В., анализируя данные более чем за 100-летний период, в конце 50-х годов ХХ века установил обратную зависимость % прироста зарплаты от уровня безработицы.

                            .

МНК:

При b ≠ 0 имеем обратную зависимость, которая при характеризуется нижней асимптотой, то есть минимальным предельным значением у, оценкой которого служит параметр а. Для уравнения Филипса  величина параметра а, равная 0,00679, означает, что с ростом уровня безработицы темп прироста зарплаты стремится к 0. Соответственно, можно определить тот уровень безработицы, при котором зарплата оказывается стабильной и темп прироста её равен 0.

При c < 0 имеем медленно повышающуюся функцию с верхней асимптотой при , то есть с максимально предельным уровнем у, оценку которой даёт параметр а.

Например, взаимосвязь доли расходов на товары длительного пользования и общих сумм расходов (или доходов) – называются кривыми Энгеля (нем. ст. 1857). Э. Энгель сформулировал закономерность – с ростом дохода доля доходов, расходуемых на продовольствие, уменьшается, а доля доходов, расходуемых на непродовольственные товары, будет возрастать. Однако, это увеличение не .

у – доля расхода на непродовольственные товары;

х – доходы (или общая сумма расходов как индикатор дохода)

Равносторонняя гипербола не единственная возможная функция для описания кривой Энгеля, можно использовать полулогарифмическую кривую . Заменив , получим .

МНК:   

      Ещё возможно к I классу отнести .

МНК:

Уравнение с квадратными корнями используется в исследованиях урожайности, трудоёмкости сельскохозяйственного производства.

Если нет каких-либо теоретических обоснований в использовании данного вида кривых, то основная цель подобных преобразований состоит в том, чтобы для преобразованных переменных получить более простую модель регрессии, чем для исходных данных.

Класс II нелинейных уравнений по оцениваемым параметрам делится на 2: внутренние линейные и внутренние нелинейные модели.

Если нелинейная модель внутренне линейна, то она с помощью специальных преобразований приводится к линейному виду.

Если же модель внутренне нелинейна, то она не может быть сведена к линейной функции.

При изучении эластичности спроса от цен используется степенная функция , где у – спрашиваемое количество, х – цена.

Данная модель нелинейна относительно оцениваемых параметров, ибо включает параметры а и b неаддитивны. Однако, её можно считать внутренне линейной, ибо логарифмирование данного уравнения по е приводит к линейному виду:  оценка по МНК.

Если же внутренне нелинейна.

Внутренне нелинейны будут модели:

              или

Они не могут быть преобразованы в линейные.

Среди нелинейных функций, которые могут быть приведены к линейному виду, степенная функция , связано это с тем, что параметр b имеет чёткое экономическое истолкование, то есть он является коэффициентом эластичности.

Это значит, что b показывает, насколько % изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1%. Рассмотрим пример  

Зависимость спроса от цен, с увеличением цен на 1% спрос снижается на 1,12%.

- первая производная, характеризующая соотношение приростов результата и фактора для соответствующей формы связи.

Для степенной функции .

Коэффициент эластичности можно определить и для других форм связи, то только для степеней функции он представляет собой постоянную величину = b.

       Для           .

В силу того, что коэффициент эластичности для линейной функции не является величиной постоянной, а зависит от соответствующего значения х, то рассчитываем средний показатель эластичности:

                                     .

Для оценки применяется МНК

к уравнению

b – определяется из системы, а «а» - косвенным путем, после потенцирования величины ln a.

Например,

Поскольку а – экономически не интерпретируется, то нередко зависимость остаётся в виде логарифмически линейной. В виде степенной функции изучаем не только спрос, но и предложение.

Обычно эластичность спроса: b<0, а эластичность предложения: b>0.

Несмотря на широкое использование в эконометрике коэффициентов эластичности, возможны случаи, когда их расчёт экономического смысла не имеет. Например, тогда, когда для рассматриваемых признаков бессмысленно определение изменения значений в %. Вряд ли кто будет определять на сколько % может измениться зарплата с ростом стажа работы на 1%. Или на сколько % изменится урожайность пшеницы, если качество почвы измеряемое в баллах, изменится на 1%.

Изучая соотношение ставок межбанковского кредита (у) в % и срока его предоставления в днях (х), получено УР.

Э=0,352% лишён смысла ибо срок предоставления не изменяется в %.

При использовании для этой же задачи линейной зависимости

b=0,403 в % показывает изменение ставок кредита с увеличением срока их предоставления на 1 день.

Практическое применение экспоненты возможно, если результативный признак не имеет отрицательных значений. Поэтому, если исследуется, например, финансовый результат деятельности предприятий, среди которых наряду с прибыльными есть и убыточные, то данная функция не может быть использована.