Законы сложения, умножения и вычитания.

Операции сложения, умножения и вычитания множеств имеют много общих свойств с операциями сложения, умножения и вычитания чисел.

В этом параграфе приведем важнейшие из них, а также докажем несколько теорем, указывающих на различие между алгеброй множеств и арифметикой.

Законы коммутативности:

а)        (1)

б)

Эти законы непосредственно следуют из законов коммутативности для дизъюнкции и конъюнкции.

Законы ассоциативности:

а)         (2)

б)

Доказательство основано на законах ассоциативности для дизъюнкции и конъюнкции.

Отсюда следует, что при сложении или умножении конечного числа множеств можно опускать скобки, указывающие порядок действий.

Например:   .

Законы дистрибутивности:

а)          (3)

б)

Доказательство основано на законах дистрибутивности для дизъюнкции и конъюнкции.

Например:  

Законы идемпотентности:

а)              (4)

б) .

Доказательства получаются непосредственно из законов идемпотентности , .

Докажем несколько законов для операции вычитания.

     (5)

сравнить:                  

В самом деле, из формул (1) и (2) §2 следует:

.

Откуда по закону дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции имеем:

.

Поскольку , сомножитель И можно в произведении опустить. Таким образом получим:

,

что и доказывает формулу (5).

Из этой формулы следует, что вычитание множеств не является операцией, обратной сложению, как в обычной алгебре чисел. Если, например, А — множество четных чисел, а В — множество чисел, делящихся на 3, то множество  отличается от В, потому что оно содержит все четные числа.

Но если , то (согласно (5) и (5) §3) , как в арифметике.

Далее,

      (6).

⇋

В самом деле:

Закон дистрибутивности умножения относительно вычитания имеет вид:

             (7).

Он получается из эквивалентности

.

Из равенства (7) следует, что

.

Законы де Моргана в алгебре множеств имеют вид:

а)

             (8)

б)

Доказательство основано на законах де Моргана алгебры высказываний.

Приведем без доказательств следующие равенства: