Если множество А и В составлены из одних и тех же элементов, то они равны.

Если  для каждого x, то А=В.

II.  A Аксиома суммы. Для произвольных множеств A и B существует множество, элементами которого являются множества A и все элементы множества B и которое никаких других элементов не содержит.

III. B Аксиома разности. Для произвольных множеств A и B существует множество, элементами которого являются те и только те множества A, которые не являются элементами множества B.

IV. C Аксиома существования. Существует по крайней мере одно множество.

Из аксиом J и A следует, что для произвольных множеств А и В множество, удовлетворяющее условиям аксиомы А, единственно. В самом деле, если бы были два таких множества С₁ и С₂, то они оба содержали ли бы одни и те же элементы (все элементы множества А, и все элементы, принадлежащие В), и поэтому, согласно аксиоме J, было бы С₁ = С₂.

О п р е д е л е н и е 1. Это единственное множество, удовлетворяющее условиям аксиомы А, назовем суммой (или объединением) множеств А и В и будем обозначать символом . Для производных х и производных множеств А и В верны эквиваленты.

⇋

                  (1)

О п р е д е л е н и е 2. Подобным образом из аксиом J и B заключаем, что для произвольных множеств А и В существует в точности одно множество, содержащее элементы множества А, не принадлежащее множеству В.

 Это множество называется разностью множеств А и В и обозначается символом А–В. (А\В)

⇋

                    (2)

Из закона де Моргана и закона двойного отрицания следует также, что

           (3)

то есть x не принадлежит разности , если х не принадлежит А или принадлежит В.

С помощью операций  и \ можно определить еще две операции на множествах.

О п р е д е л е н и е 3. Произведение (пересечение)  множеств А и В определяем по формуле

⇋

Из определения разности имеем для произвольного х

,

откуда по (3) и первому закону дистрибутивности

О п р е д е л е н и е 4. Симметрическую разность  двух множеств  А и В определяем как

Включение. Пустое множество.

О п р е д е л е н и е 5. Множество A называется подмножеством множества В, если каждый элемент подмножества А принадлежит множеству В. В этом случае мы пишем  или  и говорим, что множество А содержится в В. Отношение  называется отношением включения.

Свойства включения.

Из определения  следует:

          (1)

Очевидно, что из  следует , но не обратно. Если  и , то А – собственное подмножество множества В.

Далее , потому что по определению

, откуда следует, что  и А=В в силу аксиомы J.

Отношение включения транзитивно:

       (2)

Сумма двух множеств содержит каждое слагаемое:

           (3)

Произведение двух множеств содержится в каждом сомножителе:

           (4)

В самом деле, из закона , следует, что для каждого x

и, согласно (1) из §2 , , а, следовательно, по (1) .

Второе утверждение в (3) доказывается аналогично.

Для доказательства (4) нужно использовать закон .

Из (2) §2 следует включение

Отношение включения можно определить при помощи отношения равенства и одной из операций .

       (5)

В самом деле, если , то  для каждого x и тогда в силу закона  имеем:

, откуда

,

что доказывает, что .

С другой стороны, , значит .

Обратно, если , то, согласно (3), . Вторая часть  формулы (5) доказывается аналогично.

Из аксиомы разности (аксиома B §2) следует, что, если существует хотя бы одно множество А, то существует множество А – А, не содержащего ни одного элемента. Такое множество единственно.

В самом деле, если бы было два таких множества , то для каждого x эквивалентность

была бы истинна, так как оба ее члена ложны. Тогда  в силу аксиомы J.

Единственное множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством ( ).

Для каждого x

 или

Поскольку импликация с ложной посылкой истинна, для каждого x верна импликация.

Таким образом, пустое множество является подмножеством любого множества.

Из формулы (1) §2 следует, что

так как . Отсюда заключаем, что , а из закона

.

Равенство  означает, что множества А и В не имеют общих элементов, то есть не пересекаются.

Равенство  означает, что .

Роль пустого множества в теории множеств аналогична роли числа нуль в алгебре. Без множества 0 операции умножения и вычитания множеств не всегда были бы выполнимы, что в последствии привело бы к значительным трудностям при вычислениях.