Перевод дробных чисел в новую систему счисления

1) основание новой системы счисления выразить в десятичной системе счисления и все последующие действия производить в новой системе;

2) последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа в новой системе счисления;

3) полученные целые части произведений, которые являются цифрами числа в новой системе счисления, записать цифрами в этой системе счисления;

4) составить дробную часть числа в новой системе счисления, записывая его, начиная с целой части первого произведения.

Пример 1.3. Перевести десятичную дробь 0,1875 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

Здесь вертикальная черта отделяет целые части чисел от дробных частей.

Ответ. 0, 1875₁₀ = 0,0011₂ = 0,14₈= 0,3₁₆

Перевод смешанных чисел в новую систему счисления

Перевод смешанных чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Целая и дробная части исходного числа переводятся отдельно по соответствующим правилам. В итоговой записи числа в новой системе счисления целая часть отделяется от дробной запятой.

Пример 1.4. Перевести десятинное число 315,1875 в восьмеричную и в шестнадцатеричную системы счисления.

Из примеров 1.2 и 1.3 следует:

315, 1875₁₀ = 474,14₈= 13B,3₁₆

Замечание. Конечной десятичной дроби в другой системе счисления может соответствовать бесконечная (иногда периодическая) дробь. В этом случае количество знаков в представлении дроби в новой системе берется в зависимости от требуемой точности.

Целые числа остаются целыми, а правильные дроби ‑ дробями в любой системе счисления.

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную

В основе этого метода находится следующее правило.

Все слагаемые в развернутой форме недесятичного числа представляются в десятичной системе, полученное выражение вычисляется по правилам десятичной арифметики. Результатом является число в десятичной системе счисления, равное данному. По этому правилу производится перевод из недесятичной системы счисления в десятичную.

Пример 1.5. Все числа из примера 1.1 перевести в десятичную систему.

1011₂ = 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2¹ + 1 × 2⁰ = 8 + 2 + 1 = 11₁₀;

15FC₁₆ = 1 × 16³ + 5 × 16² + F × 16¹ + C × 16.

Заменив F на 15, С на 12 получим

1 × 16³ + 5 × 16² + 15 × 16¹ + 12 × 16⁰ = 4096 + 1280 + 240 = 5628₁₀.

Ответ: 1011₂ = 11₁₀; 15FC₁₆ = 5628₁₀

1.2.3. Системы счисления с основанием 2ⁿ

Целые числа

Для того чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием q = 2ⁿ нужно:

1) данное двоичное число разбить справа налево на группы по n цифр в каждой;

2) если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то дополнить ее слева нулями до нужного числа разрядов;

3) рассмотреть каждую группу как n разрядное двоичное число, и заменить ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q = 2ⁿ.

Дробные числа

Для того, чтобы дробное двоичное число записать в системе счисления с основанием q = 2ⁿ нужно

1) данное двоичное число разбить слева направо на группы по n цифр в каждой;

2) если в последней правой группе окажется меньше n разрядов, то дополнить ее справа нулями до нужного числа разрядов;

3) рассмотреть каждую группу как n разрядное двоичное число, и заменить ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q = 2ⁿ.

Смешанные числа

Для того, чтобы произвольное двоичное число записать в системе счисления с основанием q = 2ⁿ нужно

1) данное двоичное число разбить слева и справа (целую и дробную части) на группы по n цифр в каждой;

2) если в последней левой и правой группах окажется меньше n разрядов, то дополнить ее слева и справа нулями до нужного числа разрядов;

3) рассмотреть каждую группу как n разрядное двоичное число, и заменить ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q = 2ⁿ.

Пример 1.6. Перевести число 10101001,10111₂ в восьмеричную систему.

Для решения задачи необходимо выделить слева и справа от запятой группы по три двоичных знака и воспользоваться двоично-восьмеричной таблицей.

10101001,10111₂ = 010 101 001 , 101 110 ₂ = 251,56₈

                               2    5   1   5 6

Пример 1.7. Перевести число 10101001,10111₂ из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную.

Для этого следует выделить группы по четыре двоичных знака влево и вправо от запятой и каждые четыре двоичных знака заменить цифрой в шестнадцатеричной системе счисления. Для этого воспользуемся двоично-шестнадцатеричной таблицей.

10101001,10111₂ = 1010 1001 , 1011 1000 ₂ = A9,B8₁₆

                                  A   9     B 8

Для того, чтобы произвольное число, записанное в системе счисления с основанием q = 2ⁿ, перевести в двоичную систему счисления, нужно каждую цифру этого числа заменить ее n-разрядным эквивалентом в двоичной системе счисления.

Пример 1.8. Перевести число 573,1₈  в двоичную систему счисления.  

Для этого воспользуемся двоично-восьмеричной таблицей и заменим каждые три двоичных цифры на эквивалентную цифру восьмеричного числа. 

573,1₈ =101 011 111 , 001₂

             5  3  7  1

Пример 1.9.Перевести число 1А3,F₁₆ в двоичную систему.

Воспользуемся двоично-шестнадцатеричной таблицей и заменим  каждую цифру шестнадцатеричного числа эквивалентной ей двоичной четверкой цифр.

1А3,F₁₆ = 0001 1010 0011 , 1111₂

                   1  A    3 F