Вторая теорема Гёделя о неполноте

Во всякой достаточно богатой непротиворечивой теории первого порядка (в частности, во всякой непротиворечивой теории, включающей формальную арифметику), формула, утверждающая непротиворечивость этой теории, не является выводимой в ней.

Иными словами, непротиворечивость достаточно богатой теории не может быть доказана средствами этой теории. Однако вполне может оказаться, что непротиворечивость одной конкретной теории может быть установлена средствами другой, более мощной формальной теории. Но тогда встаёт вопрос о непротиворечивости этой второй теории, и т. д. Эта теорема имеет широкие методологические последствия как для математики, так и для философии.

Гедель - Возможности нашего мышления не сводятся к формализованным процедурам. Он считал, что мозг подчиняется законам формальной логики, а разум – другим законам. В тоге, он пришел к мистике.

И. Пригожин.Ограничения естественнонаучного подхода к психологии.

Шредингер изучает сходства и различия живых и неживых объектов. Живые объекты – возникновение порядка из порядка. Неживые – порядка из беспорядка.

И.Пригожин рассматривал живые и неживые устойчивые системы. Ввел физику в неживую природу – понятие «время», необратимость, - и тем самым повысил сходство живой и неживой природы.

Н.Бор – понятие неопределенности в природе – это основное понятие. «Точка бифуркации» - нельзя понять направление, по которому пойдет система после точки бифуркации и, двигаясь в обратном направлении, нельзя понять, откуда она (система) пришла.

И.Пригожин рассматривал вероятность как природный закон.

Особенности организации процесса познания в естествознании и гуманитарных науках: позиции естествоиспытателей, гуманитариев и науковедов. Теоремы К.Геделя о неполноте: формулировка, суть и значение для теории познания.

Теоремы К. Геделя(1906-1978)

Еще одно ограничение на использование методов и подходов естествознания в гуманитарных науках (психологии) следует из области гносеологии и связано с именем австрийского математика и логика Курта Геделя (1906-1978). Его работа «О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных систем» (1931) в решении Гарвардского университета (1952) о присуждении К.Геделю почетной докторской степени была названа одним из величайших достижений логики, проливающих свет на наше мышление и его возможности в познании себя и окружающего мира. Великий математик Д.Гильберт поставил вопрос о возможности однозначно и навсегда определить все допустимые методы математического рассуждения в пределах той или иной области знаний (вторая проблема в списке «проблем Гильберта»). Решение этой задачи означало бы, что всю науку можно представить в виде набора некоторых формальных систем.

Идеальным примером для такой процедуры всеобщей формализацииможет служить геометрия. Геометрия и дедуктивные науки, в целом, базируются на идее о том, что любое верное утверждение может быть получено в результате строгого логического доказательства. Первыми греки успешно использовали так называемый «аксиоматический метод» для систематического изложения основ элементарной геометрии (13 томов «Начал геометрии» Евклида). Согласно этому методу, некоторые предложения - аксиомы, или постулаты (например, «через любые две точки можно провести одну и только одну прямую»), принимаются без доказательства. Остальные же предложения – теоремы - выводятся с помощью правил вывода (логических законов) из аксиом как «надстройка» из «базиса». Такая формализация, как проверено веками, гарантирует истинность и совместимость (непротиворечивость) теорем геометрии (и не только). Отсюда, аксиоматически организованная формализация представляется в современном естествознании своего рода идеальным образцом процедуры получения нового научного знания.

Возникает вопрос (задача Гильберта): а можно ли и другие научные дисциплины, кроме геометрии, построить на такой же строгой аксиоматической основе? И как раз фундаментальный трехтомный труд А.Н.Уайтхеда и Б.Рассела «Principia Mathematica” (1910-1913), на который откликнулся своей знаменитой статьей К.Гедель,был посвящен попытке представить арифметику целых чисел как часть формальной логики. Работа Геделя показала несостоятельность такого убеждения: он доказал, что не может существовать формальной системы, которая была бы одновременно и непротиворечивой и полной.

К.Гедель представил обескураживающий вывод о существенной неполноте арифметики - ограниченности аксиоматического метода, в силу которой даже «обычная» арифметика не может быть полностью аксиоматизирована

(первая теорема Геделя о неполноте)

Первая теорема Гёделя о неполноте

Во всякой достаточно богатой непротиворечивой теории (в частности, во всякой непротиворечивой теории, включающей формальную арифметику), существует такая формула F, что ни F, ни (-F) не являются выводимыми в этой теории.

Иначе говоря, в любой достаточно сложной непротиворечивой теории существует утверждение, которое средствами самой теории невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Такое утверждение можно добавить к системе аксиом, оставив её непротиворечивой.

Более того, К.Гедель доказал, что для широкого класса дедуктивных теорий нельзя доказать их непротиворечивость, если не воспользоваться в доказательстве столь сильными методами, не принадлежащими правилам вывода данной аксиоматической системы, что их собственная непротиворечивость оказывается в еще большей степени подверженной сомнениям, нежели непротиворечивость самой рассматриваемой теории

(= вторая теорема Геделя о неполноте)