Плотность распределения вероятностей н.с.в. Её свойства. Мат ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение н.с.в

НСВ, кроме функции распределения F(X), можно задать с помощью плотностью распределения.

Опр: Плотность распределения вероятностей есть производная от функции распределения. f(x)=F’(x)

По известной плотности распределения можно получить функцию распределения по следующей формуле: F(x) = _–∞ ∫ ^x f(x) dx

Свойства плотности распределения:

1) Плотность – есть функция неотрицательная (f(x)³0).

2) _–∞ ∫ ^+∞ f(x) dx = 1        если a ≤ x ≤ b              _a ∫ ^b f(x) dx = 1

3) P (a < x < b) = _a ∫ ^b f(x) dx

Опр: Мат ожидание НСВ X: M(X) = _–∞ ∫ ^+∞ x∙f(x) dx

 где f(x) – плотность распределения.

Опр: Дисперсия НСВ Х: D(X) = M(X ²) – M ²(X) =

=  _–∞ ∫ ^+∞ x² ∙ f(x) dx – (_–∞ ∫ ^+∞ x ∙ f(x) dx)² = _–∞ ∫ ^+∞ (X–M(X))² ∙ f(x) dx

Опр: Средним квадратическим отклонением s(х) наз корень из дисперсии

Центральные и начальные теоретические моменты н.с.в. Мода, медиана, асимметрия, эксцесс.

Опр: Начальный теоретический момент порядка k НСВ Х, определяем по ф-ле:

n₂ = _–∞ ∫ ^+∞ x∙f(x) dx

 Частный случай: n₁=M(X), n₂=M(X²), D(X)=n₂-(n₁)².

Опр: Центральным теоретич моментом порядка k НСВ Х, называется величина:

m_k = _–∞ ∫ ^+∞ (X–M(X))^k ∙ f(x) dx

Частный случай: m₁=0;             m₂=D(X)=n₂-(n₁)²;                    m₃=n₃-3n₂n₁+2(n₁)³;

m₄=n₄-4n₃n₁+6n₂(n₁)²-3(n₁)⁴

Опр: Модой НСВ (М₀(Х)) наз то ее возможное значение, которому соответствует локальный максимум плотности распределения.

Зам: в частности, если f(x) имеет 2 max, то распределение наз-ся бимодальным.

Опр: Медианой НСВ (Мe(Х)) называют то ее возможное значение х, в котором ордината плотности делит пополам площадь ограниченную кривой распределения, или медианой называют то возможное значение х, при котором P( X < Me ( X ) )=P ( X > Me ( X ) )

Опр: Асимметрией НСВ Х назыв отношение центрального теоретического момента 3-го порядка m₃ к кубу среднего квадратического отклонения s³, т.е. As=m₃/s³

Опр: Эксцессом сл вел Х назыв величина равная E_k = (m₄/s⁴)–3

Равномерное распределение. Его числовые характеристики.

Плотности распределений называют законами непрерывной случайной величины. Часто встречаются законы равномерного, показательного и нормального распределения.

1. Равномерное распределение.

Опр: Распределение вероятности называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность сохраняет постоянное значение.

Пусть случайная величина Х принимает все возможные значения на (a,b). Тогда по определению плотность примет вид (система):

       0, x ≤ a

f(x) = c, a < x < b

       0, x ≥ b

где с-const. Используя второе свойство плотности( _–∞ ∫ ^+∞ f(x) dx = 1):

_a∫^b c dx = 1;     cx│_a^b ;                c(b-a)=1;           c=1/(b-a).

Следовательно, закон равномерного распределения примет вид:

       0 , x ≤ a

f(x) = 1/(b–a) , a < x < b

       0 , x ≥ b

Интегрируя определённую выше плотность, получаем:

       0 , x ≤ a

F(x) = (x-a)/(b-a) , a < x < b

       1 , x ≥ b

Числовые характеристики равномерного распределения:

; ;

Показательное распределение. Его числовые характеристики.

Показательное распределение(экспоненциальное):

Опр: Показательным распределением НСВ Х назыв распределение, имеющее плотность вида: (система)

     0, x < 0

f(x) = λe ^–λx , x ≥ 0

где l-некоторое положительное число(параметр)(l=const).

График показательного распределения (1=λ):

.

Функция показательного распределения имеет вид:

     0 , x < 0

F(x)=1– e ^{– λx} , x ≥ 0

График функции показательного распределения:

.

Числовые характеристики показательного распределения:

M(X) = 1/λ                              D(X) = 1/λ²                               σ(X) = 1/λ