Свойства, непосредственно получаемые из обычных правил дифференцирования

· Линейность:

для любых векторных полей F и G и для любых постоянных чисел a и b.

· Если — скалярное поле, а F — векторное, тогда:

или

· Дивергенция ротора равна нулю:

или

При этом верно и обратное: если поле Fбездивергентно, оно вихрь некоторого поля G (векторного потенциала):

· Если поле F потенциально, его ротор равен нулю (поле F — безвихревое):

Верно и обратное: если поле безвихревое, то оно потенциально:

для некоторого скалярного поля (то есть найдется такое , что F будет его градиентом).

· (Следствие из свойств выше): два (и сколько угодно) различных векторных поля могут иметь одинаковый ротор. При этом различаться они будут обязательно на безвихревое поле, то есть на градиент некоторого скалярного поля.

· Ротор ротора равен градиенту дивергенции минус лапласиан:

[править]Теорема Стокса

Циркуляция вектора по замкнутому контуру, являющемуся границей некоторой поверхности, равна потоку ротора этого вектора через эту поверхность:

Частный случай теоремы Стокса для плоской поверхности - содержание теоремы Грина

Б 38

Граничные условия Еn и Еt.

В проводящем теле, находящемся в электростатическом поле, все точки тела имеют одинаковый потенциал, поверхность проводящего тела является эквипотенциальной поверхностью и линии напряженности поля в диэлектрике нормальны к ней. Обозначив через Е_n и Е_t нормальную и касательную к поверхности проводника, составляющие вектора напряженности поля в диэлектрике около поверхности проводника, указанные условия можно записать в виде:

Е_t = 0; Е = Е_n = -¶U/¶n; D = -e*¶U/¶n = s,

где s – поверхностная плотность электрического заряда на поверхности проводника.

Таким образом, на границе раздела проводящего тела и диэлектрика отсутствует касательная к поверхности (тангенциальная) составляющая напряженности электрического поля, а вектор электрического смещения в любой точке, непосредственно примыкающей к поверхности проводящего тела численно равен плотности электрического заряда s на поверхности проводника.

Б 39

Понятие о потенциале, разность потенциалов. Вычисление напряженности поля по его потенциалу.

Потенциал и разность потенциалов.

Потенциальная энергия заряда q численно равна той работе, которую могут совершить силы поля, перемещая заряд q из данной точки поля в бесконечность. Потенциал- энергетическая характеристика точек электрического поля. Потенциал какой-либо точки электрического поля измеряется потенциальной энергией точечного заряда, находящегося в этой точке. =E_P/q. =q/4r. Разность потенциалов между двумя точками электрического поля измеряется работой, совершаемой полем при перемещении точечного заряда из одной точки поля в другую и называется напряжением. Вольт- такая разность потенциалов между двумя точками электрического поля, при которой силы поля, перемещая заряд в 1 Кл из одной точки в другую, совершают работу в один Джоуль. В=Дж/Кл.