Качалко В. Б. Поисково-исследовательская технология начального обучения математике/В.Б. Качалко.—Мозырь: УО МГПУ имени И.П. Шамякина, 2008. -142 с.

\

МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПРАКТИКУМА ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ

В начальных классах решаются задачи на нахождение дроби от числаи числа по его доле.. Например, рассмотрим залачу: При сушке клюква потеряла 91/100 часть своей массы. Сколько воды содер-жится в 10 кг сырой клюквы ?

 1/100 от 10 000 г составит 10 000:100= =100 (г), а 91/100 в 91 раза больше:100*91=9100 (г).

Так как 1% составляет 1/100 часть величины, в сырой клюкве воды 91%,или 9 кг 100 г.

Сушёной клюквы стало 10кг-9 кг100г=900 г.

 Сушёная клюква составляет 100%--91%= 9%,1% составит 900 :9 -100 (г), а 9% в 9 раз больше или 900 г. Вода в клюкве 91% составит 100*91-9100 (г). Вся же сырая клюква составлят 100%, или 100*100 = 10 (кг).

 На практике приходится решать более сложные задачи, связанные с денежными расчётами: срочные уплаты, взносы и др.

Предлагаются формулы решения таких задач на денежные расчёты в процентах.

Задача 1:В какую сумму обратится в течение t лет вклад а рублей, если сбергкасса ежегодно начисляет р сложных процентов?

Решение: Каждый рубль вклада по истечении года приносит дохода р/100 руб., следовательно, в конце года каждый вкладчик получит а*(1+р/100)руб. В течение второго года сумма возрастёт до

а*(1+р/100)(1+р/100)=а*(1+р/100)² руб.. По происшествии t лет вкладчик получит сумму по сложным процен-там в а*(1+р/100) ^tруб

Задача 2. По скольку рублей надо платить ежегодно, чтобы погасить ссуду А рублей в течение п лет при р сложных процентах?

Обозначим срочную уплату, вносимую в конце каждого года черезх рублей; наращенный в конце каждого года через r, т.е. 1+р/100=r: тогда долг А руб. через год обратится в Аr руб., после уплаты долг будет равен Аr-х. К концу второго года (Аr –х) руб. обратятся в сумму (Аr –х)*rруб. и

Аr²- r*х руб.. После уплаты второго взноса долг равен (Аr²- r*х-х) руб..Продолжая эти рассуждения даль-ше, найдём, что долг в конце треть-его года после очередной уплаты взносов равен А*r³- r ²*х-r *х – х.

В коннце п года

А*r^п- r^п-1* х – r^{п- 2}*х-…- r ²*х-r *х – х. Вынеся х за скобкиА*r^п=х*(r^п-1 + r^{п- 2}*+….+ r ²+r ) . Выражение в скобках представляет собой сумму п членов геометри-ческой прогрессии А=х(1-r^п)/(1- r).

Задача 3. В начале каждого года вкладчики обычно вносят в банк по а рублей.Какая сумма окажется у него на сбергкнижке через п лет, если начисление процентных денег ведётся из расчёта р сложных процентов?

После 1-го года сумма будет аr.

После 2-го года сумма ….аr ²+аr.

После 3-го года сумма… аr ³ +аr ²+ аr

Послн п-го года аr^п+а r^п-1 +аr^{п- 2}+ …+ + аr²+ аr.

Вынеся аr*(r^{п- 2}+r^п-1 +…+r²+r+1), получим итоговую сумму через п лет А=аr(r^{п- 1}+ r^п + … +r+ 1). Выражение в скобках представляет собой сумму п членов геометрической прогрессии А= аr*(1-r^п):(1- r). Другие примеры будут рассмотрены на практических занятиях.

ЗАДАЧИ НА СМЕСИ

Выделяют задачи трёх видов:

1.Задачи, когда в продукте удаляется некоторая часть одного вещества с сохранением постоян-ного количества другого вещества.

Например: Свежие огурцы, содержащие 98% воды, имели массу 100 г.Когда огурцы немного усохли, то воды в них стало 96%. Какова масса огурцов после усыхания?

Процентное содержание воды в одних и тех же огурцах дано в условии задачи. Найдём процентное содержание чистой огуречной массы: 100%-98%=2%, или 0,02 от общей массы огурцов. Тогда 100*0,02= 2 (кг)- к-во чистой огуречной массы в огурцах и 2:0,04=50(кг) -- масса огурцов после усыхания.

2. Задачи, в которых к имеющемуся продукту добавляется или удаляется некоторый процент одного вещества, но остаётся постоянным количество другого вещества и требуется узнать к-во добавляемого или удаляемого вещества. 

Задача. Имеется 735г 16% раствора йода в спирте. Нужно получить 10%-й раствор йода, Сколько граммов спирта нужно при-бавить к имеющемуся раствору?

Сначала находим количество чистого йода в 735 г раствора,то естьнаходим0,16от735 г:735*0,16(г).Зная к-во чистого йода в новом 10%-м растворе находим число, 10% которого составляет 735*16 (г),а именно (735*16):0,10=1 176(г), Тогда разность 1176-735=441 (г).

3. Третий вид задач.- задачи на нахождение процентного содержания одного из веществ в данном продукте в процессе его преобразования.

Задача 3. Из 430 т руды выплавляют 20 т металла, содержащего 6% примесей. Какой процент примесей в руде?

Рассмотрим сначала к-во примесей в руде, а затем определим процентное отношение массы примесей к массе всей руды.

Находим примеси в 40 т руды 40-20=20 (т). Получим, что в 20 т металла находится 6% примесей: 20*0,06=1,2 (т). В 430т руды содер-жится 20+1,2=21,2 (т) примесей. Тогда21,2*40:100= 53% составляют содержание примесей в руде.

4. Задачи на кратное сравнение двух разностей.

Задача. Из слитка меди сделали 20-граммовые жетоны, При этом оказались неизрасходованными 40 г меди. Если бы сделали столько же жетонов по 25 г, не хватило бы 110 г меди. Какова масса слитка?

Разница в расходовании меди на одно и то же к-во 20-граммовых и 25-граммовых жетонов равна 110+40=150 (г). В тоже время на каждый из 25-граммовых расходо-вали на 25-20=5 (г) больше меди, чем на 20-граммовый. Следова-тельно, всего было изготовлено 150:5=_30 (жетонов).

ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ СПОСОБОМ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ

Задача 1.В клетке сидят фазаны и кро-лики. Все в клтке 35 голов и 94 ноги. Сколько фазаноя м сколько кроликов в клетке ?

Рассуждаеем так. Предположим в клетке все 36 голов—фазаны, тогда было бы 2 * 35 = 70 (ног), что на           94-70=24 (ноги) меньше, чем в действительности. Это случилось по-тому,что у фазана на 4-2=2 (ноги) меньше. Разделив общую разницу ног на на разницу ног у каждой срав-ниваемой пары 24:2= 12 (кроликов). Тогда остаётся 35-12=23 (фазанов), Задачу можно решать аналогично, лопустив, что все 35 кролики. Тогда получим (4*35-94):2=23(фазанов) и 35-23=12 (кроликов).

ЗАДАЧИ НА КРАТНОЕ СРАВНЕНИЕ ДВУХ РАЗНОСТЕЙ

Задача. Из слитка меди сделали 20-граммовые жетоны. При этом оста-лись бы неизрасходованными 40г меди. Если сделали столько же жетонов по 25г, то не хватило бы 110 г меди. Какова масса слитка?

Рассуждать можно так. Разница в расходованнии меди на одно и то же количество 20-граммовых и 25-грам-мовых жетонов равна 110+40=150 (г), Так как на каждый 25- граммовый жетон расходовали на 25-20=5 (г) больше, чем на 20- граммовый, то всего было изготовлено 150:5=                  = 30 (жетонов) и масса слитка равна 20 х 30= 600 (г).

ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ УСЛОВНЫХ ЕДИНИЦ.

Задача. Для проведения ремонта железнодорожного пути на одно участке было поставлено 57 человек, которые могли выполнить работу за 45 дней. Но через 15 дней понадобилось уско-рить работу, для чего были постав-лены ешё дополнительно несколько человек, и вся работа была закончена на 12 дней раньше установленного срока, сколько рабочих бвло постав-лено дополнительно для ускорения ремонта? При решении зпдачи можно рассуждать так.Сначала опрнделим объём выполняемой работы, измеряя их в условеых еди-ницах, которые можно назвать «чело-векоднями», т.е. объёмом работы, выполняемым одним рабочим за один день. Тогда 57х45=2 565 (усл.ед.)- объём работы, выполнен-ной за 15 дней. 2 565 - 855 =1 710 (усл. ед) -- объём работы, выполненной после 15 дней. 45-15-12=18 (дней) – врнмя выполнения работы после 15 дней. 1 710:18= 95 (рабочих) выполняли оставшуюся работу посдк 15 днец. 95-57=38 (рабочих) было поставлено дополнителбно для ускорения проведения ремонта.

ЗАДАЧИ НА ВЫБОР ПРЕДПОЛАГАЕМОГО НЕПРИЕМЛЕМОГО ВАРИАНТА

Задача. Ключи от четырёх чемоданов перепутались, Какое наимень-шее число попыток нужно сделать, чтобы наверняка определить, от какого чемодана какой ключ?

Осуществим последовательную проверку ключей, делая непосредсредственные попытки от-крыть чемоданы, Пусть при этом кажлый раз сначала попадаются такие случаи, когда ключ к чемодану не подходит, а именно:

1.Возьмём один ключ и проверим, подходит ли он к одному из трёх чемодаганов. Если нет, то это ключ от четвёртого чемодана.

1.Возьмём один ключ и проверим, подходит ли он к одному из трёх чемоданов. Если нет, то это ключ от четвёртого чемодана (3 испытания)

2.Возьмём один из оставшихся трёх ключ и проверим, подходит ли он к одному из двух чемоданов. Если нет, то это ключ от третьего чемодана (2 испытания).

3.Возьмём один из оставшихся двух ключей и проверим, подходит ли он к первому из чемоданов. Если нет, то это ключ от второго чемодана (1исп.). Четвёртый ключ и будет от последнего чемодана ( 1 попытка).

 Итак, сделано минимальное коли-чество попыток: 3+2+1=6 (попыток).

ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ С КОНЦА

ЗАДАЧА ПИФАГОРА. Сколько учеников в школе Пифагора, если, по его словам, у него половина учеников изучает математику, четвёртая часть изчает природу, седьмая часть проводит время в молчаливом размышении, остальная часть 3 девы.

Начнём размышлять с конца. Остальную часть ( неизвестно какую) составляют 3 девы. Примем условно всех учеников за 1. Тогда оставшаяся часть 1-1/2-1/4-1/7= 3/28 составляют 3 девы. Исходя из этой части (3/28), можно найти общее количество учеников: 3:3/28=28 (человек).