Оптимизация при наличии ограничений.

Рассмотренные выше экспериментально-статистические методы оптимизаци предусматривают планомерное изменение факторов варьирования (управляющих параметров) , пока не будет достигнут экстремум целевой функции в некоторой точке , т.е. . Однако при оптимизации конкретных технологических процессов и конструкций часто могут встречаться такие комбинации управляющих параметров, которые нежелательны по техническим или экономическим показателям.

Ограничение диапазона варьирования переменных  связано, прежде всего, с тем, что в условиях реального технологического процесса (или объекта) наряду с целевой функцией  имеется ряд контролируемых выходных параметров  (где L = II,III,…,G), также зависящих от k-мерного вектора управляющих воздействий . Обычно аналитическая форма этих зависимостей, как и характер целевой функции , априори неизвестны и значения  и  в каждой точке  факторного пространства могут быть определены только экспериментально. На значения контролируемых входных параметров  обычно накладываются ограничения

    ; L = II,III,…,G,                      (1)

; L = II,III,…,G.

Входные параметры x_i также имеют ограничения

, i = 1,2,…,k.                           (2)

Ограничения (1) и (2) выделяют в факторном пространстве  область допустимых значений вектора управляющих параметров . На рисунке 27 приведен пример формирования области допустимых значений  для двухфакторного процесса.

Рис.27. Формирование области допустимых значений

для двухфакторного процесса.

Концентрические кривые показывают линии равных значений целевой функции, т.е. . Так как ограничения (1) задаются в виде неравенства , то в факторном пространстве  им тоже соответствуют поверхности равных значений ; L = II,III,…,G (кривые со штриховкой на рис. 27). Поверхности ограничения, пересекаясь, выделяют в факторном пространстве область D_k допустимых значений  со сложной конфигурацией.

Экстремальная точка может лежать не только внутри, но и за пределами допустимой области. В этом случае задача сводится к отысканию точки  условного экстремума функции у_I на границе области допустимых значений D_k.

Задача оптимизации при наличии ограничений формулируется следующим образом: необходимо найти координаты максимума целевой функции  на подмножестве всех , принадлежащих факторному пространству  переменных процесса и удовлетворяющих условиям

; ; L = II,III,…,G                      (3)

т. е. найти .

Применение метода крутого восхождения для решения сформулированной задачи не может привести к положительным результатам, т. к. его алгоритм не учитывает наложенных на вход процесса ограничений. Как правило, при наличии ограничений движение по  приходится сочетать с движением вдоль границы.

Рассмотрим процедуру эксперимента для нахождения точки  в факторном пространстве двух переменных х₁ и х₂, отвечающую условиям

                                        (4)

                                      (5)

                                     (6)

                                   (7)

Ограничения (5) и (6) наложены непосредственно на значения варьируемых параметров, а ограничения (7) – на значения выходного показателя , которые определяются только из опыта.

На первом этапе поиска проводится полный факторный эксперимент с центром в начальной точке . Он проводится аналогично эксперименту при методе крутого восхождения. Но в отличие от последнего в экспериментальной точке  измеряются не только значения целевой функции , но и контролируемого параметра .

Статистическая обработка результатов ПФЭ также выполняется по стандартной схеме, т. е. проверяется воспроизводимость опытов, значимость коэффициентов b₀, b₁, b₂ уравнения регрессии, адекватность линейной модели

                                          (8)

Если при осуществлении факторного эксперимента ни в одной из пробных точек ограничения (5), (6) и (7) не были нарушены, то из центра планирования  проводится крутое восхождение в направлении .

Для того чтобы величина градиента  не зависела от скорости возрастания функции  в точке , его составляющие следует пронормировать

;                                    (9)

Затем, как обычно, рассчитывается траектория мысленного движения к оптимуму, и в некоторых точках  этой траектории (обычно через 2-3 мысленных шага) проводится измерение отклика . При этом обязательно проверяется значение контролируемого параметра .

Крутое восхождение прекращается в следующих случаях

1. Если значение целевой функции проходит через экстремум и начинает убывать (при поиске максимального значения) или возрастать (при поиске минимального значения).

2. Если нарушается ограничение типа (7), тогда для корректировки направления движения ставится новый факторный эксперимент с центром в точке .

За новый центр планирования  в первом случае принимается точка, где целевая функция имела экстремальное значение, во втором – последняя из точек факторного пространства, где был реализован мысленный опыт, и еще не нарушалось ограничение (7). Если причиной останова послужило нарушение ограничения (7), то следующий цикл крутого восхождения проводится по компромиссному направлению, которое выбирается таким образом, чтобы точка  двигалась в сторону возрастания (или убывания) уровня выхода , одновременно удаляясь от границы внутрь области допустимых значений D_k, т.е.

,                            (10)

где  – вектор, нормальный к эквипотенциальной поверхности (поверхности равного уровня)  в точке  и ведет в область допустимых значений  (рис. 28).