С - синий, К - красный, З - зеленый.

Попробуйте заполнить другую таблицу для решения этой же задачи. (М - мяч, К - кубик)

Используя любую из этих таблиц, определите, в каких случаях истинно каждое высказывание.

1. Мяч - синий.                     2. Кубик - красный или зеленый.

3. Мяч - синий или красный. 4. Кубик - синий.

Задание. Используя данные таблицы, ответьте на вопросы.

На сколько граммов яблоко легче апельсина?

На сколько граммов яблоко легче апельсина?

На сколько граммов яблоко тяжелее лимона?

Чему равна масса 5 яблок?

Что легче: 2 яблока или 3 лимона?

На сколько масса арбуза больше массы дыни?

Во сколько раз масса 4 апельсинов больше массы 2 яблок?

Во сколько раз масса 4 апельсинов больше массы 4 яблок?

В особую группу можно выделить таблицы спортивных состязаний. Для правильного понимания информации, помещенной в такую таблицу, необходимо хотя бы минимальное представление о соответствующем виде спорта и действующих в нем правилах. Необходимо подробно рассмотреть с учащимися пример такой таблицы и провести тщательный анализ помещенной в ней информации.

Система заданий, направленных на формирование умений работы со статистическими таблицами, должна включать задания, развивающие умения извлекать и анализировать информацию, представленную в таблице, вырабатывающие умения представлять необходимую информацию в виде таблицы.

Большинство учебников содержат лишь готовые таблицы для работы. Поэтому в качестве домашнего задания можно предложить учащимся задания на составление таблиц по имеющимся данным. Например, предложить провести опрос среди одноклассников и друзей на разнообразные темы (как добираются до школы ученики вашего класса, какие кружки или секции посещают ваши одноклассники, какие домашние животные есть у них дома и т.д.) и полученные сведения представить в виде таблицы.

Для формирования умений представлять необходимую информацию в виде таблицы можно предложить учащимся задачи.

Задача. Редакция заключила на шесть месяцев договор с несколькими разносчиками журнала «Ералаш».

Данные о количестве проданных журналов таковы: разносчик Галкин в январе и феврале продал одинаковое число журналов– по 25 штук. В марте продажи у Галкина упали, и он продал 22 журнала. Его напарник Малкин был более успешен в январе и продал 37 журналов, но в феврале его дела ухудшились, и он сумел продать всего 31 журнал. В марте же он продал столько же журналов, сколько Галкин в феврале. Третий разносчик– Палкин превзошел своих коллег и в январе, феврале и в марте продал столько журналов «Ералаш», сколько в сумме продали Галкин и Малкин за эти же месяцы.

Произведите необходимые расчеты и представьте эти сведения в более удобной и наглядной форме (в виде таблицы).

Задачи такого типа подчеркивают удобство использования таблиц по сравнению с текстом.

Постепенно необходимо увеличивать трудность заданий: предлагать для анализа более обширные таблицы данных, по которым сложнее ориентироваться и, используя их, заполнять новые таблицы.

Задача. В журнале регистрировались наблюдения за погодой в течение 3 летних месяцев.

☼ − ясно, ◘ − облачно, ◙ − дождь

Заполните по представленным данным таблицу, содержащую сведения о том, сколько каких дней было в каждом из трех летних месяцев и за все лето:

В настоящее время появилась тенденция к расширению спектра использования различных методов решения задач. При сравнении данных, с увеличением числа объектов в задачах, целесообразно использовать графические изображения, позволяющие упросить рассуждения. Наиболее доступным для учащихся средством графического изображения статистических данных являются разнообразные диаграммы, дающие обобщающую картину взаимосвязей единиц статистической совокупности и способствующие выявлению некоторых закономерностей.

Столбчатая диаграмма - это совокупность прямоугольников в одной полуплоскости с основаниями, принадлежащими одной прямой, и высотами, характеризующими различные единицы статистической совокупности. Она помогает закрепить представления о событиях «более возможных» и «менее возможных», сформировать представление о равновозможных событиях, даёт представление как о дискретных распределениях, так и о непрерывных. Используя столбчатую диаграмму, учащиеся могут также делать выводы и о степени разброса значений.

Целесообразно перейти к рассмотрению диаграмм после того, как у младших школьников выработаны навыки работы с таблицами. Если с таблицами младшие школьники встречались ранее, то понятие диаграммы может оказаться для них совершенно новым и неясным. Поэтому начинать знакомство учащихся с диаграммами разумнее с конкретного примера, иллюстрирующего, что такое диаграмма и для чего она нужна. Для этого можно рассмотреть у доски такую задачу:

Задача. Конфетная фабрика приняла заказ на изготовление партии из 2000 шоколадок. Каждая из шоколадок по плану должна весить 40 грамм. Но контрольное взвешивание изготовленной партии шоколада дало следующие результаты (результаты взвешивания представлены в виде таблицы):

Таблицы позволяют представить необходимую информацию в более удобной для восприятия форме. Еще более удобным способом представления информации является графический, то есть на рисунках. Давайте внимательно посмотрим на рисунок 9, построенный по исходной таблице. Этот рисунок и называется диаграммой.

Рис. 9

После этого нужно организовать работу учащихся с диаграммой для того, чтобы они смогли оценить достоинства представления данных таким способом. Для этого можно задать им несколько вопросов, например: Шоколадок какого веса завод выпустил больше всего? Сколько шоколадок весом 39 граммов выпустил завод? Шоколадок какого веса завод выпустил меньше всего? Сколько шоколадок весом меньше 41 грамма произвел завод?

Для формирования умений, связанных с использованием диаграмм, предлагаем следующие задания.

Задание. Дайте ответы на поставленные вопросы, используя диаграмму.

Сколько литров сока в большой и средней банках?

Сколько литров сока в средней и маленькой банках?

Сколько литров сока в трех банках?

На сколько литров сока больше вошло в большую банку, чем в маленькую? На сколько литров сока в большой и маленькой банках вместе, больше, чем в средней?

Задание. Дайте ответы на вопросы, используя диаграмму, представляющую интересы учащихся 4 «А» класса.

Сколько учащихся класса увлекаются спортом? Сколько учащихся класса увлекаются танцами? Сколько учащихся класса увлекаются музыкой? Сколько в классе коллекционеров? Сколько учащихся класса увлекаются танцами и музыкой? Сколько в классе коллекционеров? На сколько спортсменов больше, чем музыкантов?

Пользуясь рисунком, учащиеся быстро и правильно ответят на поставленные вопросы. Наибольшие затруднения учащихся вызывает построение диаграмм, поэтому учителем должен быть четко сформулирован алгоритм построения столбчатых диаграмм.

В учебнике математики по программе «Школа 2000…» (автор Л.Г. Петерсон) предложен следующий алгоритм.

Алгоритм построения столбчатых (линейных) диаграмм:

- подобрать цену деления шкалы, удобную для обозначения на ней значений данных величин;

- изобразить шкалу на вертикальном координатном луче, а на горизонтальном луче отметить на равном расстоянии друг от друга точки по числу имеющихся величин;

- от выбранных точек построить вертикальные отрезки (столбцы), высота которых равна значению соответствующей величины.

Диаграмма, построенная таким способом, называется столбчатойдиаграммой, но если вместо столбиков мы нарисуем линии той же высоты, получим новый вид диаграммы – линейную диаграмму.

Далее целесообразно предложить учащимся построить несколько диаграмм для отработки шагов алгоритма с разбором у доски.

Задача. Перед вами страница из книги регистрации новорожденных детей:

Учащимся предлагают построить по таблице столбчатую и линейную диаграммы, используя данные, представленные в таблице, ответить на вопросы.

Какое имя за этот период было самым популярным? Сколько всего разных имен было использовано? Какого числа родилось больше всего детей? Сколько среди новорожденных мальчиков?

По представленным данным можно предложить заполнить 3 других таблицы.

Таблица 1.

Таблица 2.

Таблица 3.

Задача. В таблице приведены данные о среднесуточной температуре первой недели мая. Постройте по этим данным:

− столбчатую диаграмму;

− линейную диаграмму.

Задача. В течение года Лена получила следующие отметки за контрольные по математике: одну «двойку», три «тройки», четыре «четверки» и две «пятерки». Представьте эти сведения в виде таблицы и по полученной таблице постройте столбчатую диаграмму. Ответьте на вопросы.

Сколько контрольных работ по математике написала Лена за год? Сколько положительных оценок получила Лена за контрольные работы по математике?

Задача. Учитель на уроке спросил, сколько книг школьники прочитали за лето. Оказалось, что Аня прочитала 8 книг, а Саша – в 2 раза меньше. Петя не прочитал ни одной книги. Витя за лето прочитал 7 книг, Игорь – на 4 книги больше, чем Витя. Катя и Оля прочитали по 3 книги. Постройте линейную диаграмму, показывающую, сколько книг каждый из учеников прочитал за лето.

При этом необходимо научить школьников не только правильно строить диаграммы, но и анализировать информацию на диаграмме, обратить внимание учащихся на возможность взаимозаменяемости различных видов диаграмм и с помощью задач прочно закрепить умения работать с ними.

Статистическую информацию можно изображать и с помощью круговой (секторной) диаграммы, которая представляет собой круг, разделенный на секторы с площадями, пропорциональными частотам. Круговые диаграммы показывают, прежде всего, состав статистической совокупности, ее структуру и располагают большими возможностями для ознакомления учащихся с начальными идеями так называемого метода Монте-Карло получения экспериментальных значений случайной величины.

Задача. Маша, Саша, Катя, Лена, Ваня и Миша пошли в пиццерию. На диаграмме показано, сколько кусков пиццы съел каждый из них. Ответьте на вопросы.

Кто из ребят съел пиццы больше всех?

Кто из ребят съел пиццы меньше всех?

Кто из ребят съел одинаковое количество кусков пиццы?

Сколько кусков пиццы вместе съели ребята?

Сколько кусков пиццы съели вместе Маша, Лена и Катя?

После того, как учащиеся справятся с этими заданиями, можно перейти к изучению круговых диаграмм. Необходимо продемонстрировать учащимся пример круговой диаграммы, которая может быть построена по таблице 3.

До этого вы строили столбчатые и линейные диаграммы, но существует еще один вид диаграмм – круговые диаграммы. Такая диаграмма представляет круг, разрезанный на дольки, каждая из долек соответствует одному из значений изучаемого признака (в нашем случае – пол ребенка), а ее размер пропорционален интересующей нас величине (количеству новорожденных данного пола).

При изучении данной темы у учащихся должен быть сформирован четкий алгоритм построения круговых диаграмм:

- найти часть  целого, которая приходится на каждую из величин;

- найти величины центральных углов, соответствующих каждой части: 360^o : n x;

- построить в данной окружности центральные углы, соответствующие каждой части.

Целесообразно предложить учащимся выполнить задания на построение круговых диаграмм по таблицам данных.

Важно обратить внимание младших школьников на возможность взаимозаменяемости различных видов диаграмм. На вопрос учителя «Можно ли, глядя на столбчатую диаграмму, построить по ней линейную?» учащиеся без труда должны ответить «да», поскольку надо всего заменить столбики линиями соответствующей высоты. Значит, используя столбчатую диаграмму, можно построить линейную, и наоборот. Аналогично, из столбчатой или линейной диаграммы можно построить круговую, и наоборот. Для закрепления этих сведений нужно предложить школьникам задания, требующие построить диаграмму другого вида по имеющейся, которые целесообразно рассмотреть с полным решением у доски.

Задача. В магазине игрушек подсчитали количество проданных за прошедшую неделю кукол, мячей и машинок. Полученные данные представили в виде столбчатой диаграммы.

Постройте по этим данным линейную и круговую диаграммы.

Заканчивая изучение таблиц и диаграмм, необходимо подвести итог. Важно отметить, что таблицы и диаграммы – средство удобного и наглядного представления разнообразных данных и сведений, они часто используются в жизни. Но еще более необходимы и нужны они в статистике. После этого можно перейти к рассмотрению основных статистических характеристик и примеров простейших исследований. Необходимо сказать и несколько слов учащимся о науке статистике.

Линейные статистические графики наиболее удачны для более глубокого анализа динамики явлений. Они обладают тем удобством, что можно на одном чертеже наносить несколько таких графиков и производить их наглядное сравнение. По линейным статическим графикам можно увидеть не только то, насколько возрос тот или иной показатель, но и как это изменение связано с временем, за которое это изменение произошло. Поэтому такие графики по праву можно считать содержательным компонентом формирования начальных представлений о случайных явлениях и процессах.

Задание.Непослушный Колобок убежал от бабушки и от дедушки. На рисунке дан график его движения. Пользуясь графиком, ответьте на вопросы.

Сколько километров преодолел Колобок за первый час движения; через два часа после побега из дома?

За сколько часов он прошел 10 км?

Сколько времени Колобок отдыхал?

Задание. На рисунке дан график движения велосипедиста. Пользуясь графиком, ответьте на вопросы.

Сколько километров проехал велосипедист: а) за первый час движения; б) за третий час движения; в) через два часа после выезда; г) через 5 часов после выезда? Сколько времени затратил велосипедист на весь путь? За сколько часов он проехал 10 км, 20 км,35 км? Сколько раз велосипедист отдыхал? Сколько времени велосипедист отдыхал? Вычислите, с какой скоростью ехал велосипедист до остановки. Вычислите, с какой скоростью ехал велосипедист после второй остановки.

Возможностями для формирования статистических представлений располагают средние величины. «Средние величины, - писал Ж. Фурье, - не зависят от обстоятельств, считаемых нами случайными; они определяются причинами общими, открыть которые иногда довольно трудно, но о которых мы знаем, что они в значительной степени постоянны»[18]. Средняя величина характеризует не отдельные единицы, а выражает уровень признака в расчете на каждую единицу совокупности, позволяет одним числом охарактеризовать уровень признака у всех единиц однородной совокупности, отражает объективно влияющие на результат стохастического явления причины.

Эмпирическая мода - одна из наиболее простых и доступных учащимся средних характеристик. Она может быть использована не только как самостоятельная характеристика, но и для выполнения роли вспомогательного показателя при средней арифметической, характеризуя ее типичность.

Ценность заданий стохастического характера определяется не только тем аппаратом, который используется при их решении, но и возможностями продемонстрировать процесс применения математики для решения практических проблем. Стохастические задачи, знакомящие младших школьников со сферой случайных событий и формирующие у них первоначальные статистические представления, способствуют познанию окружающего мира средствами математики.

Специфика реализации компетентностного подхода в педагогическом образовании состоит в том, что будущий учитель должен не только сам овладеть определенной компетентностью, но и быть готов к переносу своих навыков в сферу опыта учащихся для становления у них ключевых компетенций. В модели профессионального развития основной акцент переносится на становление умения видеть, осознавать и оценивать различные проблемы, конструктивно разрешать их в соответствии со своими ценностными ориентациями, рассматривать любую трудность как стимул к дальнейшему развитию[19]. При обучении стохастике ведущей становится идея приоритета развивающей функции обучения математике. Система обучения стохастике направлена на познание окружающего мира средствами математики, общеинтеллектуальное, общекультурное развитие качеств мышления и качеств личности младшего школьника, необходимых для полноценного функционирования в современном обществе, для динамичной адаптации его к этому обществу, то есть на формирование у субъекта обучения в процессе изучения математики ключевых компетенций.

Вопросы для самопроверки

1. Охарактеризуйте вероятностно-статистическую содержательную линию, включенную в образовательный стандарт основного общего образования по математике.

2. Чем обусловлено внедрение элементов стохастики в курс математики начальной школы?

3. Наличие каких компонентов необходимо для овладения специальной методикой обучения стохастике[20] в начальной школе?

4. На достижение какого уровня нацеливает свою деятельность учитель при изучении стохастики?

5. Какие взаимосвязанные направления выделяют в содержании стохастической содержательно-методической линии?

6. Какова роль и значение обучения младших школьников решению комбинаторных задач?

7. Какие виды комбинаторных заданий решаются в начальной школе? Приведите примеры из учебников математики для начальной школы.

8. Назовите методы решения комбинаторных задач охарактеризуйте каждый из них.

9. Какие этапы предусматривает работа над комбинаторными заданиями в начальной школе? Дайте краткую характеристику каждому из них.

10. Приведите пример комбинаторной задачи, при решении которой целесообразно использовать граф-дерево. Решите ее.

11. Какие этапы предусматривает работа над формированием первоначальных вероятностных представлений младших школьников? Дайте краткую характеристику каждому из них. Приведите примеры заданий, которые могут быть предложены младшим школьникам на каждом этапе.

12. Охарактеризуйте методику работы над заданиями вероятностного характера в начальной школе.

13. Охарактеризуйте средства формирования первоначальных вероятностно-статистических представлений у младших школьников.

14. Какие виды вероятностных задач решаются в начальной школе? Какие мыслительные операции используются при их решении?

15. Придумайте вероятностную задачу и покажите ее решение, используя графы.

16. Формированию каких ключевых компетенций младшего школьника способствует стохастическая содержательно-методическая линия?