Свойства условного математического ожидания.

1. M(C½h) = C

2. M(ax + b½h) = aM(x½h) + b

3. M(x + h½n) = M(x½n) + M(h½n)

4. M(xh½n) = M(x½n)M(h½n),еслиxиhнезависимыпри условии ν.

5. M[ M(x½h)]=Mx

, формула полного математического ожидания.

6. , hи j – некоторые функции

7.M(x/h) = Mx, если x и h - независимы.

       .

8.

Функцию M(x /h) называют функцией регрессииили просто регрессией с. величины xна с. величину h. График функции M(x /h)называют линией регрессии с. величины xна с. величину h. Линий регрессии две M(x /h) и M(h /x). В общем случае они между собой не совпадают.

M(x/h)  На плоскости (y,х) уравнение этой прямой имеет вид х=a+by.   M(h/x)= с+ dx, гдес= ,

,  для регрессии η на ξ и регрессии  на η соответственно. Прямые регрессии проходят через центр рассеивания – точку ( ) с угловым коэффициентом  . Так как |ρ| ≤1, то | | ≥ | |, что означает, что прямая регрессии  всегда расположена более круто по отношению к оси Ох, чем вторая регрессия. При |ρ| =1 они совпадают, при ρ =0 прямые распадаются на две прямые, параллельные осям координат – вырожденный случай регрессии.

Билет 23

1.Формула полной вероятности

 - вероятностное пространство и события  образуют в нем полную группу событий:1) ; 2) ; 3) . События  часто при этом называют гипотезами.

, из условия . .                                 

Формула справедлива для счетного набора гипотез , если они удовлетворяют условиям 1)-3).

2. Дискретные случайные величины определение, ряд распределения, функция распределения, примеры. Пуассоновское распределение: его параметры с применением производящей функции

Случайная величина  называется дискретной, если она каждому элементарному исходу ставит в соответствие одночисло из конечного или счётного множества чисел , причём вероятность события  Набор вероятностей  называют рядом распределения с. величины.

Если при описании случайной величины  применяют какую-нибудь другую её характеристику вместо функции распределения и при этом по характеристике возможно однозначно восстановить функцию распределения, то такая характеристика называется законом распределенияслучайной величины  или просто распределениемслучайной величины.

, где , если  и , если .

Постоянная величина С. Она принимает единственное значение с вероятностью, равной единице.

Индикатор события А.  

 - дискретное вероятностное пространство и  –с. величина, принимающая значения . , то , где множества  образуют разбиение пространства  – они попарно не пересекаются и их сумма равна . Ряд распределения с. величины  имеет вид:

	0	1
P

Cлучайная величина  распределена по закону Пуассона, если она принимает неотрицательные целые значения с вероятностями                                                                  

 - параметр распределения Пуассона.

Производящей функцией для дискретно распределенной с. величины ξ называется функция                 

1. Если производящие функции двух с. величин совпадают, то совпадают и распределения этих с. величин.

2. .

3. Если ξ и η – независимые с. величины, то производящая функция произведения этих с. величин равна произведению производящих функций сомножителей. 

              Действительно, . Далее, .

, .

3.Условное распределение для двух непрерывных св. Условные функции распределения и плотности распределения.

 и назовем условной функцией распределения  предел этой условной вероятности при :

                                                    (3.12)

Как показано в [7] такой предел всегда существует, но в определенном смысле: он является производной Радона-Никодима одной меры относительно другой.

Поскольку событие  есть объединение непересекающихся событий  и , тогда Итак,

                                                                (3.13)

Так как:

                     (3.14)

Следовательно,

                                                                        (3.15)

Функция  имеет производную по x , т.е. существует условная плотность распределения случайной величины  при условии

                                               (3.16)

С использованием свойства 4 плотностей распределения и опустив в левой части у функции  индекс  получим:

                                                                                             (3.17)

Аналогичным рассуждением может быть получена формула:

                                                                                                   (3.18)

Формулу (3.16) можно переписать в виде:

                                                (3.19)

которая напоминает формулу умножения вероятностей для случайных событий

Билет 24

1. Аксиоматическое определение вероятности. Аксиомы непрерывности.

Задано измеримое пространство (Ω, F). Ω – пространство э. событий, F – некоторая σ-алгебра событий (множества из F считаются событиями и только они).

Вероятностью событияА из σ-алгебры F называется вещественная функция, определенная на F и удовлетворяющая следующим свойствам (аксиомам):

А1.  - аксиома неотрицательности;

А2.  - аксиома нормированности;

А3. Если последовательность событий  такова, что  то  - аддитивность сложения.

Вероятность, заданную на σ-алгебре F, называют вероятностной мерой.

А3’: если события  несовместны, то ;

 А4: Пусть последовательность событий  такова, что , , и .Тогда  - аксиома непрерывности.

А4’: пусть последовательность событий  такова, что , , . Тогда .

2Пуассоновское распределение: его параметры с применением производящей функции

Cлучайная величина  распределена по закону Пуассона, если она принимает неотрицательные целые значения с вероятностями                                                                  

 - параметр распределения Пуассона.

Производящей функцией для дискретно распределенной с. величины ξ называется функция                 

1. Если производящие функции двух с. величин совпадают, то совпадают и распределения этих с. величин.

2. .

3. Если ξ и η – независимые с. величины, то производящая функция произведения этих с. величин равна произведению производящих функций сомножителей. 

              Действительно, . Далее, .

, .

3.Совместная функция распределения, основные свойства.

 - некоторое вероятностное пространство и  - случайные величины, заданные на нем. Каждому значению  они ставят в соответствие вектор .Отображение , задаваемое совокупностью случайных величин , называется случайным вектором

все , измеримые функции, случайным вектором  следовало бы назвать отображение , где  – борелевская -алгебра в . Необходимым и достаточным условием измеримости случайного вектора  является выполнение условия: .

Основной характеристикой случайного вектора  является n-мерная функция распределения: .

1. ;

2.  - неубывающая функция по каждому из своих аргументов;

3.  - непрерывная слева функция по каждому из своих аргументов;

4. ;

5. ;

6. ; ; ;

7. .

Эту формулу можно вывести, исходя из представления события  в виде алгебраической суммы событий: .