Свойства условного математического ожидания.

1. M(C½h) = C

2. M(ax + b½h) = aM(x½h) + b

3. M(x + h½n) = M(x½n) + M(h½n)

4. M(xh½n) = M(x½n)M(h½n),еслиxиhнезависимыпри условии ν.

5. M[ M(x½h)]=Mx

, формула полного математического ожидания.

6. , hи j – некоторые функции

7.M(x/h) = Mx, если x и h - независимы.

       .

8.

Функцию M(x /h) называют функцией регрессииили просто регрессией с. величины xна с. величину h. График функции M(x /h)называют линией регрессии с. величины xна с. величину h. Линий регрессии две M(x /h) и M(h /x). В общем случае они между собой не совпадают.

M(x/h)  На плоскости (y,х) уравнение этой прямой имеет вид х=a+by.        M(h/x)= с+ dx, гдес= ,

,  для регрессии η на ξ и регрессии  на η  соответственно. Прямые регрессии проходят через центр рассеивания – точку ( ) с угловым коэффициентом  . Так как |ρ| ≤1, то | | ≥ | |, что означает, что прямая регрессии  всегда расположена более круто по отношению к оси Ох, чем вторая регрессия. При |ρ| =1 они совпадают, при ρ =0 прямые распадаются на две прямые, параллельные осям координат – вырожденный случай регрессии.

Билет 7

1.Формула Байеса

, k=1,…,n, - априорныевероятности гипотез, а , k=1,…,n, - апостериорныевероятности гипотез после того, как произошло событие А.  

2. Геометрическое распределение: определение, обозначение. Характеристическая функция и её применение для вычисления числовых характеристик.

 – число испытаний, которое необходимо провести, прежде чем появится первый успех. В каждом отдельном испытании успех достигается с вероятностью р.

Случайная величина может принимать счетное множество значений k=0,1,2,3…,n,…

Если , то в первых k испытаниях появилась неудача, а в (k+1) испытании – успех. , .           

Характеристической функцией  с. величины  называется функция:

3. Непрерывные n-мерные св. Свойства совместной плотности распределения.                            Если функция  абсолютно непрерывна, то случайная величина  называется непрерывной. Совместная функция  и функция  плотность распределения n-мерной случайной величины x.

                                                                   (3.7)

Свойства совместной плотности распределения:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ; .

Билет 8

1. Схема Бернулли, формула Бернулли.

Схема Бернулли - это эксперимент, удовлетворяющий условиям: 1) за основу берется эксперимент, имеющий 2 исхода. 2) этот исходный эксперимент повторяется независимо n раз (исходы эксперимента при очередном повторении не зависят от исходов эксперимента на предыдущих шагах) 3) вероятности двух исходов при каждом повторении исходного эксперимента одни и те же.

А– в n испытаниях произошло m успехов, m=0,1,2,…,n. В элементарных событиях, благоприятствующих событию А, буква У в последовательности УНУУ…Н встречается ровно m раз. Вероятность такого элементарного события равна . Число таких элементарных событий совпадает с числом способов, которыми можно расставить m букв У по n местам, при этом все буквы У неразличимы. .

2. Биноминальное распределение: определение, обозначение. Производящая функция распределения и её применение для вычисления числовых характеристик.

Случайная величина  – число успехов в серии из n независимых испытаний. Она может принимать значения .           Восстановим функцию распределения F(x). Поскольку , то для всех  событие  - невозможное, значит . Если , то событие  состоит из тех элементарных исходов , для которых , . Если , то событие  состоит из тех элементарных исходов , для которых  или , , , и т. д. При  событие  достоверное событие и .

Производящей функцией для дискретно распределенной с. величины ξ называется функция                 

1. Если производящие функции двух с. величин совпадают, то совпадают и распределения этих с. величин.

2. .

3. Если ξ и η – независимые с. величины, то производящая функция произведения этих с. величин равна произведению производящих функций сомножителей. 

              Действительно, . Далее, .

Пусть ξ имеет биномиальный закон распределения  Найти р(u).

.

3. Условная дисперсия, свойства условной дисперсии.

Для того, чтобы оценить насколько сильно отдельные значения сл. величины могут отклоняться от кривых регрессии, используют понятие условной дисперсии:

                                                                            (3.35)

Величина D(x/η), рассматриваемая как функция η=y, носит название скедастика, сами уравнения (3.35) называются скедастическими(терминология справедлива и для величины D(h/ξ)).

Как и в случае условного математического ожидания, некоторые свойства условной дисперсии аналогичны свойствам обычной дисперсии, другие же присущи только условной дисперсии. Первые только перечислим, вторые приведем с доказательствами.

1.

2.

3.

4. , если  - независимые с. величины

5.

Рассмотрим выражение |свойство 6 условного математического ожидания| = . Далее используем формулу (3.35).

6.  или

.  Применим к обеим частям полученного равенства оператор математического ожидания:  или .   Вычтем из обеих частей : . Далее, так как

= , то получим

, = .

Замечание.В ходе доказательства получена формула, имеющая самостоятельное значение

                                                                           (3.36)

Билет 9

1.Формула Пуассона.

Если число испытаний в схеме Бернулли n велико, вероятность успеха в одном испытании p мала и мало также число , тогда

.

       Здесь ;

Теорема Пуассона справедлива и по отношению к числу неудач, но только в этом случае должно быть мало число .

.

События  при различных m в схеме Бернулли несовместны. Тогда вероятность появления успеха в n испытаниях не менее  раз, но не более  раз:

 Вероятность появления хотя бы одного успеха в серии из n независимых испытаний получаем из предыдущей формулы заменой в ней  на 1 и  на n:                                                           

2. Случайная величина. Функция распределения св, основные её свойства.

 – вероятностное пространство. Случайной величинойназывается измеримаяфункция , ставящая в соответствие каждому элементарному исходу  число . Функцией распределенияслучайной величины  называется функция , значение которой в точке x равно вероятности события , то есть