Обобщенное уравнение состояния

Обобщенное уравнение состояния для схемы произвольной конфигурации имеет вид

                                       (1)

 Матричная форма записи уравнения, где  матрица параметров схемы замещения, где вектор- столбец токов в ветвях, - число ветвей в схеме замещения, - вектор- столбец исходных параметров режима.

Уравнение (1) объединяет два матричных уравнения.

Уравнение по первому закону Кирхгофа

.

Уравнение по второму закону Кирхгофа

,

где  матрица размерностью  матрица соединений ветвей в узлах ( без балансирующего узла), здесь - число узлов схемы замещения, - число ветвей, - матрица размерностью , матрица соединений ветвей в независимые контуры, - число независимых контуров.

 диагональная матрица сопротивлений ветвей.

- вектор-столбец задающих токов в узлах.

- вектор-столбец контурных ЭДС ветвей, входящих в каждый независимый контур. Матрицы и  можно рассматривать как блоки одной объединенной матрицы параметров схемы замещения

,

а вектор–столбцы  и  как блоки одной объединенной матрицы исходных параметров режима

.

Для формирования обобщенного уравнения состояния (1) необходимо предварительно определить матрицы инциденций и , которые в аналитическом виде отображают конфигурацию схемы замещения электрической сети. Матрица  обобщенного уравнения состояния является квадратной матрицей порядка . Тогда из уравнения (1) используя метод обратной матрицы можно сразу определить токи в ветвях

При известных токах в ветвях можно определить напряжения в узлах. Для этого сначала по закону Ома определяем падение напряжения в ветвях схемы

.

Если ЭДС в ветвях отсутствует , то закон Ома принимает вид

Затем из уравнения  определяем напряжения в узлах схемы замещения. Здесь матрица  представляет собой напряжения узлов относительно базисного .

Покажем применение описанной методики на примере решения следующих задач.

При расчетах режимов электрических сетей могут иметь место два случая:

· схема замещения электрической сети не содержит замкнутых контуров,

· схема замещения электрической сети содержит замкнутые контуры.

Первая из рассмотренных ниже задач посвящена расчету установившегося режима электрической сети, не содержащей замкнутых контуров, вторая расчету установившегося режима для сетей, содержащих замкнутые контуры.

Пример.

Рис. 2

 Для схемы, представленной на рис.2 найти токи в ветвях разомкнутой электрической сети, используя матричную форму записи 1-го закона Кирхгофа. Токи нагрузки узлов равны .

Матрица задающих токов принимает вид

Матрица задающих токов равна матрице токов нагрузок, взятой с противоположным знаком. Выберем в качестве балансирующего узла  узел. Обозначим через  первую матрицу инциденций без балансирующего узла.

Из обобщенного уравнения состояния

Расчетная часть

Дано:

Создадим вектор-столбец токов:

Обобщенное уравнение состояния :

Вычисление обратной матрицы М классическим методом:

Транспонируем:

Находим значения элементов путем вычеркивания строки и столбца:

Вписываем полученные значения в их точки:

Найдем определитель:

Разделим на определитель и получим обратную матрицу:

Теперь найдем обратную матрицу в системе MATLAB:

Вычисление токов в ветвях в системе MATLAB:

Пример. Для схемы представленной на рис.3 определить токи в ветвях схемы, напряжения в узлах. Сеть трехфазная. Токи нагрузки равны . Узел - источник питания, выбираем его в качестве балансирующего узла (базисного). . Сопротивления ветвей схемы соответственно равны .

Рис. 3

В начале составим первую и вторую матрицы инциденций ( ) для нашего графа.

, узел  является балансирующим узлом.

Столбцы в этой матрицы можно условно пронумеровать как связи . Связи однозначно определяют направление ветвей в схеме замещения, так например, связь  означает что данная ветвь имеет направление из узла  в узел .

Первая матрица инциденций без балансирующего узла будет иметь вид:

.

В нашей схеме замещения всего один независимый контур, в соответствии с этим вторая матрица инциденций примет вид:

 .

Столбцы в этой матрице имеет ту же нумерацию, что и в первой матрице инциденций.

Запишем для нашей схемы обобщенное уравнение состояния

.

Последний элемент в вектор- столбце  равен , т.к. ЭДС в ветвях отсутствует. Данная система может быть решена относительно искомых токов в ветвях любым методом решения систем линейных алгебраических уравнений (например, методом обратной матрицы или методом Гаусса).

Найденные токи принимают значения

.

По закону Ома определим падение напряжения на ветвях схемы

Используя уравнение , получаем

.

Перемножая матрицы в матричном уравнении, получаем  уравнения с  неизвестными, т.е. данная система переопределена. В нашем случае можно выбросить любое уравнение переопределенной системы и решить ее также каким-либо методом решения систем линейных алгебраических уравнений. В результате получаем .

Расчетная часть

Дано:

Первая матрица инциденции:

Принимаем в качестве балансирующего узла узел 4 исключаем его:

            Первая матрица инциденции

Вторая матрица инциденции:

Составим матрицу сопротивлений: