Эмпирической и теоретической функций распределения

Во многих практических задачах точный закон распределения исследуемой случайной величины не известен. При обработке экспериментальных данных для характеристики частотных свойств ряда наблюдений исследователь подбирает теоретико-вероятностную модель этого ряда.

В качестве модели может быть выбрано нормальное распределение Пуассона.

Пусть экспериментатор по виду гистограммы или из других соображений выдвинул гипотезу о законе распределения, которому подчиняется исследуемая случайная величина.

Проверка гипотезы о предлагаемом законе распределения производится с помощью критериев согласия. Наиболее распространенным критерием согласия является критерий Х² Пирсона, который позволяет проверять близость эмпирической функции распределения с гипотетической (предполагаемой) функцией.

Вид гистограммы, а также значения A_S, E_S и позволяют выдвинуть гипотезу о нормальном виде распределения исследуемого признака. Для проверки этого на основании гипотетической функции

вычисляют вероятности попадания случайной величины в интервалы

]x_i-1, x_i[:

р_i= P(x_i-1 <x <x_i) = F(x_i) – F(x_i-1), i = 1,2,3….,k.

Умножая эти вероятности на объем выборки, получают теоретические абсолютные частоты nр_i интервалов ]x_i-1, x_i[. После чего подсчитывают выборочную статистику X²_набл:

                                                                     (7)

Зная уровень значимости a и число степеней свободы по таблицам квантилей Х² – распределения находят критическое значения Х²_a,n.

Заметим, что число степеней свободы n данного распределения равно n = k - r – 1,

где k – число интервалов;

r – число параметров предполагаемой функции распределения.

Например, у нормального закона распределения r = 2, (a,σ), у распределения Пуассона r = 1, (a).

Сравнивая наблюдаемое значение выборочной статистики, вычисленной по формуле (7), с критическим значением, приходят к выводу:

1. Выдвинутая гипотеза отвергается, если X²_набл> Х²_a,n, то есть гипотетическая функция распределения не согласуется с опытными данными;

2. Выдвинутая гипотеза принимается, если X²_набл< Х²_a,n, то есть гипотетическая функция распределения согласуется с опытными данными.

Для применения критерия Пирсона необходимо, чтобы в каждом интервале было не менее 5 значений признака. Если это не так, то рекомендуется объединить такие интервалы с соседними.

Значения статистических характеристик подтверждают обоснованность нашего предположения о нормальном распределении исследуемой совокупности. Параметрами этого распределения будут эмпирическая средняя  и среднее квадратичное отклонение S (r = 2).

Гипотетическая функция распределения имеет вид:

.

Для вычисления значений F(x) сделаем замену , что позволит воспользоваться таблицами значений F(u_i) функции Лапласа (x_i– концы интервалов). Дальнейшие расчеты приведены в таблице 3.

Таблица 3

ui	F(ui)	рi	F*(ui)	mi	nрi	mi-nрi	(mi-nрi)2
1	2	3	4	5	6	7	8	9
-2,9798	-0,4986	0,0064	0,0064	2	0,64	1,36	1,8496	2,89
-2,4242	-0,4922	0,0229	0,0293	2	2,29	-0,29	0,0841	0,0367
-1,8687	-0,4693	0,0644	0,0937	6	6,44	-0,44	0,1936	0,0301
-1,3131	-0,4049	0,1285	0,2222	10	12,85	-2,85	8,1225	0,6321
-0,7576	-0,2764	0,1971	0,4193	23	19,71	3,29	10,8241	0,5492
-0,2020	-0,0793	0,2161	0,6354	23	21,61	1,39	1,9321	0,0894
0,3535	0,1368	0,1818	0,8172	18	18,18	-0,18	0,0324	0,0017
0,9091	0,3186	0,1093	0,9265	10	10,93	-0,93	0,8649	0,0791
1,4646	0,4279	0,0504	0,9769	4	5,04	-1,04	1,0816	0,2146
2,0202	0,4783	0,0168	0,9937	2	1,68	0,32	0,1024	0,061
2,5758	0,4951
							X2набл =4,5839

^*) Так же, как и при определении доверительного интервала, a определяется условиями эксперимента.

Зададим a = 0,05. В рассматриваемом примере К = 7 (3 последних интервала объединены в один), поэтому n = 7 – 2 – 1 = 4.

По таблицам квантилей Х² распределения находят: X²_0,05;4 = 9,5.

Так как X²_набл = 4,5839 < 9,5, то выдвинутая гипотеза о том, что совокупность объектов (исследуемых образцов бетона на прочность) подчиняется нормальному закону распределения, принимается.

Заметим, что для построения теоретической кривой распределения используют данные колонки 4 таблицы 3.

ЗАДАНИЯ

Задание 1

1) Установить закон распределения случайной величины (или системы случайных величин) по статистическим данным; 2) определить неизвестные параметры распределения; 3) проверить правдоподобие выдвинутой исследователем гипотезы. Варианты приведены ниже.