Элем-ые ф-ции компл-ой пер-ой:степ-я, пок-я, триг-е, обр-ые триг-е, гипербол-ие

К элем ФКП относ след:  –лин ф-ия -степ-ая  – дробнолин -общ рацион-ая  ф-ия Жуковского а также: 1)показательная  св-ва: а)  б)  в)  явл периодич с периодом  ► ◄ г)  может принимать и отриц знач► ◄2)логарифм ф-ции  св-ва аналогичны св-ам lnxза искючением двух: а) lnzмногозначная б) lnzопред для всех zкроме 0 3)тригоном-ие ф-ции св-ва аналогичны св-вам действ тригоном функций за исключ след-его:  могут быть и больше 1 4)обратн тригонм ф-ции опр. комплексного числа zназ комплексное число wsinкоторого равен z { }<=> , обрат триг ф-ции представл след образом:{ }-многозначные 5)гиперболические ф-ции , , , , замеч ф-ции shzи chzявл период с наим  ф-ции thzи cthzпериодич с наим , ф-лы связи между тригоном и гипербол: .

2.3Производная фкп.Условия Коши-Римана:Будем рассматривать однозначную ФКП. ω =f(z), z=x+iy, ω=u(x,y)+iv(x,y). Пусть ф-ция f(z) определена в окрестности некотор. точки z, придадим ей прирощение z, ω=f(z+ z)-f(z). Опр.:Если сущ. Конечный предел отношения приращения ф-ции к приращению арумента: =:  , то 1)f(z) назыв. Дефереенцируемой в точке z. 2)предел называется производной ф-ции в точку z. f'(z)= (1). Если ф-ция f(z) диференц. в точке z, то она непрерывна в этой точке. Обратное неверно! Ф-цию (1)можно записать и иначе: f'(z)= . Опр.:Ф-ция f(z) наз. Диф. В области D если она диф. В каждой точке этой области. Т(Каши-Римена): Для того чтобы ф-ция ω=f(z) равная u(x,y)+iv(x,y) была диф. в некоторой точке z=x+iy<=> выполнение след. условий: 1)ф-ции u(x,y) и iv(x,y) были деф.в некот. точке (x,y).   2)выплонялись след условия{ ; }-условие Каши-Римена. При этом производная ф-ции вычисляется по формуле f ‘(z)= = ►Пусть ф-ция f(z) дифер. В точке z. Это озночает что сущ. конечный придел = f ‘(z), т.к.  любыми способами, то рассмотрим 2 случая: А) +i = , =0 ;       f ‘(z)= = +i = . Б) =0, =i ;f ‘(z)=

= + = -i  , т.к. придел должен быть 1 и тот же -i . ; ◄ Все основные правила диф. для ф-ции действ. Переменной справедливы и для ФКП. А именно свойства производной:1)(f(z)±g(z)) ' = f ‘(z)±g ‘(z). 2) (f(z)*g(z)) ' = f ‘(z)*g(z)+f (z)*g ‘(z).3)(f(z)/g(z)) '= .4)F(f(z))=F ‘(f(z))*f ‘(z)

2.4Аналитические ф-ции. Гармонические ф-ции.Опр.Ф-ция ω=f(z) однозначная и диф-ая в некот. области D, наз-ся аналитич. в этой области(регулярной, гармонич.)Опр.Точки комплексной области z в которых ф-ция f(z) явл. аналитич, наз-ся регулярными, а точки в которых ф-ция не явл-ся аналитич. наз-ся ососбыми.Опр.Диф-алом аналитич. ф-ции f(z) наз-ся главная часть приращения ф-ции, линейная относит-ноΔ z .Опр.Ф-ция u=u(x,y) удовлетв. ур-ию Лапласа наз-ся гармонич-ой. Вывод:Действительн и мнимые части аналитич. ф–ции явл-ся гармоничес-ми фун-ями.Опр. Гармонич. ф-ции удовлетвор. условиям Коши-Римона, наз взаимно сопряж-ми.

2.5Геометрический смысл модуля и аргумента производной.Пусть задана ф-ция , которая явл аналитической в обл. D, содерж-ая точку  причем

Если , то секущая занимает полож-е касательной и угол между кас-ой и осью Ox, тогда . По опред произв ф-ции в т есть предел отнош-я приращ ф-ции к приращ аргумента: , - коэф растяжения. Если k>1-растяжение области Dпри отображении. Если k<1- сжатие обл Dпри отображ.

Вывод: геом смысл модуля производной это коэф растяжения (разность между касат углами при отображ) Вывод: геом смысл аргумента произв в точке состоит в том, что это есть угол на который нужно повернуть касательную к кривой , для того, чтобы получить направ касательной кривой Lв точке . Таким образом отображ с помощьюааналит-ой ф-ции обладает св-ом консерватизма углов и постоянства растяжения. Такое отображ наз конформным

2.6Интегрирование ф-ций комплексной переменной:Рассмотрим , для того чтобы интегрирование вдоль любого контура было возможно, необходимо: 1)f(z)-непрерывная ф-ция. 2)контур L- гладкий. = =

+i = +i  =>т.е интеграл от ФКП равен сумме 2-ух криволинейных интегралов 2-го рода: = +i . Свойства анологичны св-вам КРИ 2рода:    1) = . 2) =a .            3) = . 4) = + . Замечание:Если контур Lзадан параметрическими ур. : {x=x(t);y=y(t)},α≤t≤β , то интеграл выглядит так: = - +i +

.

2.7Теоремы КошиТ1(для односвязной области).Если ф-ция f(z) аналитична замкнутой односвязн. области ограниченной контуром L(гладким, замкнутым) прроходимым против часовой стрелки, то интеграл вычислять не надо, он=0. ►Воспользуемся ф-лой = -vdy+i* +udyв которой инт-л , в силу того, что ф-ции uи vявл. взаимно сопряж. и удовлетв. условиям Коши-Римона = ; =- }условия незав-ти каждого из криволин. инт.от пути интегрир-ия◄Т1 (для многосвязн. области). Если ф-ция f(z) аналитична в некоторой многосвязной обл. D, огранич. гладким контуром L, то итеграл по внешнему контуру равен сумме инт-ов по внутренним контурам. Все контуры обходят против часовой стрелки. СледствиеЕсли f(z) аналитичн. в некот. односвязн. области D, то интеграл по любому контуру, лежащему внутри этого контура, не зависит от формы контура, а зависит от нач. и конечн. точки. Это означает, что инт-л от аналитич. ф-ции по разомкнутому контуру може вычисляться по формуле =F(B)-F(A)=F(z)| F(z)-первообразная от f(z), т.е. в этом случае работают все известные методы интегр-ия и табличн. инт-лы.

2.8Интегральная ф-ла КошиПусть дана ф-ия  – аналитическая замкнутой обл D(огранич контур L) требуется по знач-ию ф-ции на границ обл по контуру Lнайти знач ф-ции в любой точке внутри обл  – инт-ая ф-ла Коши, -инт-л Коши,  –ядро Коши Замеч: Если  не принадл D, то ин-л Коши равен 0теорема Обобщенная инт-ая ф-ла Коши: Если аналитична замкнутой односвязн обл D, то в каждой точке это й области она диф-ема сколько угодно раз и её производная n-ого порядка опред след ф-лой -обобщенна ф-ла Коши. При n=0 получ интегр. ф-лу Коши

2.9Комплексные числовые и функциональные ряды.Основные понятия:Опр. Числловым рядом будем наз. бесконечную сумму элементов числовой последовательности. =z₁+z₂+..+z_n+z_n+1(1) Опр. Частичной суммой ряда называется сумма n первых его элем. S_n= z₁+z₂+..+z_n , сумму оставшихся элементов принято называть остатком ряда: R_n= z_n+1+ z_n+2+.. .Опр. ряд (1) назв. Сход. Если сущ. Конечный придел последовательности n-ых частичных сумм ряда =S<∞ и сумма ряда равна S. Справедливы утверждения: 1)для схождения ряда (1) <=> чтобы =0. 2) = +i , т.к. z_n=x_n+iy_n сосотоит из 2-ух рядов то для того чтобы ряд (1) сход. Нужно чтоб сход 2 ряда. 3)Если ряд  сходится, то  тоже сходится и наз. абсолютно сход. Все признаки сходимости (необходимый признак, Доломбера , Каши) справедливы и для ряда (1). Опр.Функциональным рядом наз. ряд  (2) элементами которого явл. ФКП. =f₁(z)+ f₂(z)+..+ f_n(z)+ f_n+1(z)+…

Опр.точка z₀ которой соответствует числ. Ряд  и он сходится, назв. Точкой сходимости. Множество всех точек сходимости назв. Облостью сходимости. Опр.Сходящийся в некоторой обл. Dф-ный ряд  назв. равномерно сход. в этой области, если ∀ сколь угодно малого ε сущ. такой N=N(ε), что для всех n>N => |R_n(z)|< ε , =0. Опр.Степенным рядом назв. ф-ный ряд вида =

c₀+c₁z+c₂z²+..+c_nzⁿ…(3). Ряд по степеням zв окрестности точки 0: =

c₀+c₁(z-a)+c₂(z-a)²+..+c_n(z-a)ⁿ…Теорема(Абеля):Если степенной ряд сход. в некоторой точку z₀≠0, то он обсалютно сходится в круге |z|<|z₀|. Причём во всяком круге лежащем внутри круга сходимости |z|<r<|z₀|, ряд (3) сходится равномерно.

2.10Ряд Лорана ФКП.Рядом Лорана наз двустор степ ряд , коэф которого опред ф-лой:  Ряд Тейлора явл частным случаем ряда Лорана.Всякую ф-цию f(z) аналитическая в круговом кольце  м.б. единственным отрезком разложения в нём в ряд Лорана Опр:Точки области Dв которых ф-ция f(z)-аналитична наз правильными. Точки в которых ф-ция не явл аналитичн наз особыми

2.11Особые точки ф-ции компл. переменного и их классификация Опр.Точки комплексн. пл-ти z наз. правильными для ф-ции f(z), если в них f(z) – аналитич-ая.Опр.Точки в которых f(z) не явл. аналитич-ой наз-ся особой.Опр.Особая точка наз-ся изолированной особой точкой если сущ. окрестность этой точки (круг дост. малого радиуса с ценром в этой точке) в которой данная точка явл. единственной особой точкой. Если (.)z =aявл. изол. особой (.) для f(z), то найдётся достаточно малое кольцо, лежащее в окрестности этой точки, в котором ф-ция f(z) явл. аналитической. Т.к. всякую аналит. в кольце ф-цию можно представить рядом Лорана причём единств. образом, то справедлива ф-ла:f(z)= +  -(1) При разложении ф-ции в ряд Лорана могут быть след. случаи: 1) в разложение (1) отсутствует главная частьf(z)= = )/2 +.. )/n!. В этом случае (.)z=aназ-ся устранимой особой точкой, доопределив f(z)*b(.)a=>f(a)=  мы получим аналит-ую ф-цию в (.)a. Определить характер изолир. особой точки можно дргим способом. Если сущ. конечный f(z)=A!= , то (.)z=a, есть устранимая особая точка.2)Разложение f(z) в ряд Лорана содерж. правая часть и конечное число слогаемых в главной части. f(z)= + , c*m!=0;(.)z=aназ. полюсом порядка m. Если ∃ f(z)= то (.)z=aназ-ся полюсом.3)Главная часть (1) содержит бесконечное число слогаемых, в этом случае (.)z=aназ-ся сущ-но особой точкой Замечание: Все типы рассмотренных особых точек явл-ся конечными особыми (.)z=∞ всегдаявл. особой точкой. Характер особой точки в этом случае можно определить для точки обратной (1/z).

2.12)Нули аналитических функций, связь между нулями и полюсами: Опр. Точка z=aназ. нулём f(z) если f(a)=0. Точка z=aназ. нулём порядка mесли разложение f(z) в ряд Тейлора в окрестности этой точки имеет вид: f(z)=c_m(z-a)^m+c_m+1(z-a)^m+1+…; c_m≠0; При m=1 ноль наз. простым. Способ определения порядка 0: Если {f(a)=f ’(a)=f ”(a)=..=

f^(m-1)(a)=0; f^(m-1)(a)≠0=>точка z=aявл. нулём порядка m}Порядком нуля определяется порядком старшей производной отличной от 0. Теорема 1:Для того чтобы точка z=aявл. нулём порядка mдля f(z) <=> чтобы f(z) имела вид: f(z)=(z-a)^m*φ(z) ►=>н)пусть точка z=aноль порядка m тогда справедливо представление : f(z)=c_m(z-a)^m+c_m+1(z-a)^m+1+…=

(z-a)^m(c_m+ c_m+1(z-a)+c_m+2(z-a)^m+..)=(z-a)^m* φ(z).<=д) f(z)=(z-a)^m*φ(z)=|φ(z)-семетричная ф-ция, то её можно разлож. в ряд Тейлора|=(z-a)^m(c₀+ c₁(z-a)+c₂(z-a)²+..)=

c₀(z-a)^m+c₁(z-a)^m+1+ c₂(z-a)^m+2+…;c₀≠0. Точка z=aесть нуль порядка m. ◄ Теорема 2: Для того чтобы точка z=a явл. нулём порядка mдля f(z) <=> чтобы она была полюсом порядка m для ф-ции F(z)= .

2.13Вычеты: опред, вычисл. Основная теорема о вычетах.Вычетом в конечной изолиров. особой точки наз-ся число равное коэф (коэф. при первой отрицат. степени при разложение ф-ции в ряд Лоранса) = = ;Resf(a)= Способы вычисления 1)(.) z=aустранимая особая точка. Resf(a)=0. т.к. разложение f(z) в ряд Лорана и содержит главной части 2)(.)z=a существенно особая точка Resf(a)= где коэф-нт.  определяется из разложения ф-ции в ряд Лорана.3)(.)z=a полюс порядка mResf(a)= (f(z-a)^m*f(z)) В частном случае для простого полюса мы получаем:(m=1)Resf(a)=  (z-a)f(z).4)Если ф-ция f(z) явл. частным 2-ух ф-ций , где !=0, =0, !=0, Resf(z)= в этом случае (.) z=a явл-ся полюсом для ф-ции f(z)Основная теорема о вычетах:Если ф-ция f(z) аналитична в некоторой области D огранич. гладким замкн. контуром L, ориентированным положительно в обл. D, а так же и на самом контуре Lза исключ. конечного числа точек a₁, a₂,…,a_k , лежащих в обл. D, то интеграл  будет равен сумме вычетов относительно всех особых точек, умноженой на 2πi: =2πi* ►Для док-ва восп. след. формулой: (1) ={0, m≠-1; 2πi ,m≠-1}. Если точка z=aявл. изолир. особой точкой для ф-ции f(z) аналитичной в некот. Обл., то в окрестности этой точки f(z) можно разложить в ряд Лорана: f(z)= + . Проинтегрируем этот ряд по малому замкнутому контуру внутри кольца: =|(1)|= 2πi*  =>В правой части на основании (1) все интегралы будут равны 0 кроме одного=> =Resf(a)= . Воспользуемся теоремой Каши для многосвязной области в силу которой справедливо след. Равенство: = =2πi =2πi ◄