Ряды Фурье 2l-периодических функций.

Ф-я f(x) задана на инт-ле  и удовл усл-ям т.Дирихле, тогда её можно разл в ряд Фурье вида: коэф-ы опред ф-ми:

{ }

Замеч: В случае четности ил нечетн ф-ции формулы для вычисл коэф-тов упрощаются:

-четная: -нечетн:

13.Разложен в ряд Фурье непериодич. функций:Пусть ф-ция f(x) задана на промежутке [0; ]. Чтобы разложить такую ф-цию в ряд Фурье необход. сделать её переодической, для этого заданную ф-цию необходимо продолжить на промежутке   [-π;0] , либо четным , либо нечетным образом: a)четное положение   б)нечетное . Вывод: В зависимости от вида продолжения(чет/нечет) одна и та же ф-ция м.б. представлена разным образом(по sin/cos).

Комплексная форма ряда Фурье

 представим  ф-ми Эйлера{ } = = =

–комплексная форма ряда Фурье. Элементы ряда наз. комплексными гармоническими коэф ряда – комплексными амплитудами

Определение ф-ции комплексной перем.Предел, непрерывность.

Опр.Функция компл. перем-ой – это правило, по которому каждому комплексному знач. независ. переменной (из области опред-ия) соответствует одно и только одно комплексное значение функцииПусть дано некоторое мн-во D-точек комплексной пл-ти.Опр. Окрестностью (.) будем называть круг достаточно малого радиуса с центром в этой точке. 0<|z- |<E, (.)  – наз-ся внутренней (.) мн-ва Dесли она принадлежит этому мн-ву вместе со своей окрестностью.(.) наз-ся граничной точкой мн-ва D, если её окрестность содержит как точки мн-ва Dтак и точки непринадл. мн-ву D.(.) наз-ся внешней, если её окрестность не содержит точки этого мн-ва.Опр.Мн-во всех гранич точек – граница. Если мн-во содержит все свои гранич точки, то наз-ся замкнутой D.В дальнейшем рассматриваем мн-во огранич. гладким замкнутым контуромОпр.Областью наз-ся мн-во Dобладающее 2-мя св-вами: открытость, связность. Открытость означает, что Dсостоит только из внутренних точек. Связность означает, что любые 2 точки области можно соединить непрерывной гладкой кривой целиком лежащей в этой области. Окрестносью бесконечности наз-ся мн-во точек пл-тиz, определяемое неравенством |z|>R, R-сколь угодно большое число. В зависимости от вида границ области, различают: односвязные , 2хсвязные,3-х связные области ..Опр.Число A≠∞, наз-ся пределом ф-цииf(z) , если Ɐε>0∃δ=δ(ε), то Ɐzудовлетвор. 0<|z- |< δ =>(f(z)-A)<ε, т.е.для всех точек я принадл. δокрестности т. Ɐzϵ Опр.Бесконечно удаленная (.) наз-ся =∞, если для Ɐzϵ соотв. значениеf(z) ϵU(∞)принадлеж. окрестности бесконечно удалённой точки. Опр. (.) на-ся (.) непрерывности ф-ции f(z), если выполнено условие =  или Δ ɯ=0; Δ ɯ =f(z)-f( ) Δ z =z- Если ф-ция непрерывна в каждой точке некот. множ-ва то она наз-ся непрерывной на данном множ-ве Опр.точками разрыва наз-ся точки комплексной области zв которых нарушается условие неприрывности.