Особенности машинной арифметики

При записи чисел в памяти компьютера может быть использовано только конечное, одно и то же для всех чисел одного класса (целые, действительные, комплексные) число знаков. Отсюда следует, что десятичные числа[1], введенные в память компьютера, содержат ошибку представления.

На большинстве современных компьютеров принята следующая форма записи действительных чисел с плавающей точкой:

,

 — двоичные числа, равные 0 или 1, , число  — мантисса числа x, целое p — порядок, t — разрядность, . Запись десятичного числа в памяти компьютера, для мантиссы t позиций, для порядка — l, плюс две позиции для знака числа и для знака порядка:

…

…

Отсюда следует:

· в памяти компьютера представимо только конечное число действительных чисел; для всех остальных — округленное значение, т.е. такие числа после ввода в память компьютера содержат ошибку — ошибку представления, она называется ; машинным эпсилон, относительной точностью компьютера, машинной точностью, обозначают , ; границу относительной ошибки представления можно вычислить:

если , то ;

· диапазон представления действительных чисел ограничен; , ,  — машинный нуль, числа меньшие по модулю чем  компьютер не различает и полагает нулем; получение числа x для которого  называют исчезновением порядка; не следует путать  и , ; .  — машинная бесконечность, , получение числа x для которого  называют переполнением; для IBM PC t = 23, , , ; для инженеров важно понимать, что мантисса имеет разрядность, эквивалентную 7-14 десятичных разрядов;

· на машинной числовой оси действительные числа расположены неравномерно

поскольку расстояние между двумя ближайшими числами равно 2^p-t и, следовательно, увеличивается с ростом p;

· при выполнении арифметических операций с действительными числами , , , .

Погрешности арифметических операций

Следует обратить внимание на то, что в приведенных выше неравенствах даны оценки границ погрешностей.

Справедливы следующие оценки:

, a>0, b>0,

, ,

,

, .

Докажем некоторые оценки (остальные оценки получаются аналогично).

,

. Из последней оценки видно, что при больших значениях , т.е. при вычитании близких чисел возможна «катастрофическая потеря точности».

Заметим, что если , то вместо оценок , .

можно полагать , .

Наибольшая потеря точности происходит при вычитании близких чисел одного знака, потеря точности не происходит при сложении чисел одного знака.

Погрешность вычисления функции одного переменного

  Пусть  — дифференцируемая в области G (на некотором интервале, содержащем x и x*)функция, x* — приближенное значение аргумента,  — приближенное значение функции,  — соответствующие погрешности. Оценку погрешности  можно получить из формулы конечных приращений Лагранжа:  т.е. обычно полагают

Отсюда нетрудно получить оценку границы относительной погрешности вычисления функции: .

Для функции, заданной неявно :  и

, .