Округление приближенных чисел

Приближенные числа. Абсолютная и относительная погрешности

Пусть a — точное значение некоторой величины (как правило, оно неизвестно), a* — приближенное значение величины a.

Ошибка, погрешность, приближенного числа a*  — a - a*.

Абсолютная погрешность a* — .

Относительная погрешность a* — .

Их вычислить, как правило, невозможно (a неизвестно), реально полагают .

Теоретическая задача анализа погрешности состоит в оценке границ , погрешностей  и :  и .

Запись приближенных чисел

Обычно приближенные числа записываются в виде конечной десятичной дроби:

Мы будем использовать «нормализованную» или, как последнее время принято говорить, «научную» форму записи чисел:

Пример. a* = 3.14 = 3×10⁰+1×10^-1+4×10^-2 или a* = 0.314×10¹ = 0.314×10,

n = 0, .

Значащими цифрами числа a* называются все цифры его записи, начиная с первой ненулевой.

Пример.У числа a* = 0.0103три значащие цифры (выделены) а у числа b*=0.0103000 — шесть значащих цифр.

Значащую цифру числа a* называют верной, если абсолютная погрешность числа a* не превышает единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Пример.Если , то у числа a* = 0.0103000 четыре верных значащих цифры (выделены), а у числа b* = 0.0103 — все значащие цифры верные.

Пример. a = 1.00000, a* = 0.99999, тогда  и всезначащие цифры числа a* = 0.99999 верные.

Пример. a* = 3.14, .

Количество верных значащих цифр числа тесно связано с его относительной погрешностью:

• если число a* содержит N верных значащих цифр, то ;
• для того, чтобы число a* содержало N верных значащих цифр, достаточно, чтобы ;
• если число a* имеет ровно N верных значащих цифр, то , т.е.  — величина порядка .

Эти утверждения позволяют нам в дальнейшем указывать точность числа по числу верных значащих цифр, а потерю точности объяснять как потерю верных знаков.

Границы погрешностей принято записывать с 1-2 значащими цифрами. Большая точность бессмысленна и, следовательно, безграмотна.

Приближенные числа принято записывать в виде . Если число  приводится без указания величины погрешности, то принято считать, что все цифры в его записи верные.

Важно понимать, что записи  или  означают, что на самом деле о величине a известно только то, что ее значение находится в интервале , который естественно называть интервалом неопределенности. Числа ,  указывают с одинаковым числом цифр после десятичной точки. Используя границу относительной погрешности число  принято записывать в виде .

Если число a* приводится без указания величины погрешности, то принято считать, что все цифры в его записи верные и, следовательно, его погрешность не превосходит единицы разряда последней цифры (единицы «младшего» разряда).

Пример.Если число содержит 3 верные значащие цифры, то его относительная погрешность не превышает 10^—3+1 =10^—2 = 1%. Для того, чтобы число содержало 3 верных значащих цифры, его нужно вычислять с относительной погрешностью, не превышающей 10^-3.

Пример.Известно, что число . Часто используется его приближенное значение . Тогда , . Можно считать иначе:

,  и .

Округление приближенных чисел

Округление — замена приближенного числа другим числом с меньшим количеством значащих цифр. Округление усечением и округление по дополнению.

Усечение состоит в отбрасывании всех цифр, расположенных справа от n-ой значащей цифры.

Округление по дополнению содержит три правила:

1. Если первая из отбрасываемых цифр больше чем 5, то последняя из сохраняемых увеличивается на 1.Увеличение на единицу совершается и тогда, когда первая отбрасываемая цифра равна 5, а за ней есть одна или несколько значащих цифр.
Округляем до трех значащих цифр  и

2. Если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то усиление не делается.
Округляем до единиц

3. Если отбрасываемая цифра 5, а за ней нет значащих цифр, то последняя цифра остается неизменной, если она четная и увеличивается на 1 , если она нечетная.
Округляем до третьего десятичного знака  и .

Установить какое округление применяется в используемом математическом обеспечении можно из документации или экспериментально (лучший пример — десятичная запись числа 2/3). Mathcad использует округление по дополнению.