Линейные однородные дифференциальные уравнения с

постоянными коэффициентами.

       Решение дифференциального уравнения вида  или, короче,  будем искать в виде , где k = const.

       Т.к.  то

       При этом многочлен  называется характеристическим многочленомдифференциального уравнения.

       Для того, чтобы функция  являлась решением исходного дифференциального уравнения, необходимо и достаточно, чтобы

 т.е.

       Т.к. e^kx ¹ 0, то  - это уравнение называется характеристическим уравнением.

       Как и любое алгебраическое уравнение степени n, характеристическое уравнение  имеет n корней. Каждому корню характеристического уравнения k_i соответствует решение дифференциального уравнения.

       В зависимости от коэффициентов k характеристическое уравнение может иметь либо n различных действительных корней, либо среди действительных корней могут быть кратные корни, могут быть комплексно – сопряженные корни, как различные, так и кратные.

       Не будем подробно рассматривать каждый случай, а сформулируем общее правило нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

       1) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни.

       2) Находим частные решения дифференциального уравнения, причем:

                   a) каждому действительному корню соответствует решение e^kx;

б) каждому действительному корню кратности m ставится в соответствие m решений:

в) каждой паре комплексно – сопряженных корней  характеристического уравнение ставится в соответствие два решения:

                                        и .

г) каждой паре m – кратных комплексно – сопряженных корней  характеристического уравнения ставится в соответствие 2m решений:

       3) Составляем линейную комбинацию найденных решений.

Эта линейная комбинация и будет являться общим решением исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

       Пример. Решить уравнение .

Составим характеристическое уравнение:

Общее решение имеет вид:

       Пример. Решить уравнение

Это линейное однородное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами второго порядка. Для нахождения общего решения необходимо отыскать какое - либо частное решение.

       Таким частным решением будет являться функция

Исходное дифференциальное уравнение можно преобразовать:

Общее решение имеет вид:

Окончательно:

       Пример. Решить уравнение

Составим характеристическое уравнение:

       Общее решение:

       Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

       Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

       Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

       Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

       Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

       Пример. Решить уравнение

Это уравнение не является линейным, следовательно, приведенный выше метод решения к нему неприменим.

       Понизим порядок уравнения с помощью подстановки

Тогда

Окончательно получаем:

Это выражение будет общим решением исходного дифференциального уравнения. Полученное выше решение у₁ = С₁ получается из общего решения при С = 0.

       Пример. Решить уравнение

Производим замену переменной:

Общее решение: