Интегрирование уравнений кинетики

Пусть идет химическая реакция разложения вещества А, в результате которой образуется вещество В. Экспериментально установлено, что она имеет первый порядок по концентрации А, а значение константы скорости для условий ее осуществления равно k. Это отображено на схеме реакции ниже.

                                                      k; 1 по А

A                    В.

Скорость реакции равна r_a = –kC_A, или

                                     .

Определим начальные условия для решения дифференциального уравнения кинетики. Будем считать, что в начальный момент реакции нам известна концентрация вещества А, обозначим ее как С_Ао. Запишем начальные условия в виде . Проинтегрируем полученное уравнение, используя интегралы с подстановкой пределов. Пределы интегрирования определяются из начальных условий: когда время равно нулю, концентрация А равна начальной, в произвольный момент t концентрация равна С_А:

.

В результате интегрирования имеем:

,

заменяя разность логарифмов логарифмом частного имеем далее:

,

проводя потенцирование получим:

.

После всех преобразований решение дифференциального уравнения представляет собой экспоненциальную убывающую функцию:

.

Проверим, не противоречит ли полученное решение условиям нашей задачи. При t=0, т.е. в момент начала химической реакции С_A=C_A0, поскольку экспонента обращается в единицу. Действительно, в начальный момент концентрация вещества А равна начальной. При t→∞ экспонента с отрицательным показателем стремится по величине к нулю. За бесконечно большое время вследствие химической реакции все вещество разлагается и образует В.