Работа сил тяготения и Кулоновских сил.

Работа и мощность. Закон сохранения энергии

Закон всемирного тяготения. Упругие силы. Силы трения. Понятие механической работы и мощности. Потенциальная энергия. Консервативные силы. Энергия упругой деформации. Закон сохранения энергии. Упругие и неупругие столкновения тел.

Работа и мощность.

Такие понятия как энергия, мощность работа встречались ещё в школьном курсе физики и встречаются в жизни (особенно часто понятие мощности). Напомним некоторые определения. Работа характеризует действие силы на материальную точку. Как всегда в физике бывают интегральные характеристики и дифференциальные. Элементарной работой силы  называется скалярное произведение этой силы на бесконечно малое перемещение:

(1)

Относительно этого определения можно сделать следующие пояснения:

1. Работа может быть как положительной, так и отрицательной (всё зависит от знака )
2. Работа зависит не только от вида силы, но и от закона перемещения материальной точки.

Суммарную (интегральную) работу силы на некотором участке можно записать в виде

(2)

В СИ единица измерения работы называется Джоулем и равна::

(3)

Наряду с работой используют также величину, которая показывает скорость измерения работы и называется мощностью:

(4)

В системе СИ мощность измеряется ваттах (Вт) (1 Вт = 1 Дж/с). И согласно (2) суммарная работа, выраженная через мощность равна:

(5)

При выполнении каких-то действий с работой или мощностью необходимо иметь в виду о работе (мощности) какой силы идет речь. Если на материальную точку действует несколько сил, то полная работа всех сил равна сумме работ каждой из сил:

(6)

Остановимся на рассмотрении работы совершаемой некоторыми силами, которые были рассматривались раньше.

Работа однородной силы тяжести.

Выберем систему координат, в которой ось Z направлена вверх и перпендикулярно поверхности Земли (направлена от центра Земли), а оси X и Y лежат в плоскости Земли. В этом случае на материальную точку массы mдействует постоянная сила:

(7)

А элементарная работа равна:

(8)

и суммарная работа по перемещению тема (материальной точки) из точки с координатами  в точку с координатами  оказывается равной:

(9)

Обратим внимание, чтосуммарная работа зависит только от положения начальной и конечной точек и не зависит от того, по какому закону (по какой траектории) двигалась точка.

Работа упругих сил.

Выберем систему координат, в которой ось X направлена вдоль пружины (стержня), а оси Y и Z перпендикулярны направлению пружины. Начало координат выберем в положении равновесия. В этом случае на материальную точку массы mдействует упругая сила, которая в выбранной системе координат равна:

(10)

При этом для элементарной работы получим:

(11)

А суммарная работа дается простым интегралом:

(12)

Опять получили, что суммарная работа зависит только от начального и конечного положений. Забавная ситуация получается если мы начиная с какого-то значения  сжали (или растянули) пружину а потом вернулись в прежнее положение . Тогда получается (см. (12)), что мы совершили нулевую работу. Это правильный ответ, поскольку на одном участке мы сжимали пружину, и работа упругой силы была отрицательной, а когда пружина распрямлялась из сжатого положения, то те же силы совершили точно такую же положительную работу.

Работа сил тяготения и Кулоновских сил.

При рассмотрении работы сил тяготения будем считать, что одна из частиц неподвижна и находится в начале координат, а другая частица движется под действием этой силы. Если обозначить радиус-вектор подвижной частицы через , то гравитационная сила, которая на неё действует равна:

(13)

Отсюда, элементарная работа дается выражением:

(14)

Прежде чем подсчитывать суммарную работу приведем равенство, которое позволит просто решить задачу вычисления суммарной работы:

(15)

Можно доказать это равенство в векторном виде:

(16)

По компонентам это можно пояснить следующими выкладками:

(17)

С использованием этого равенства, получаем для суммарной работы в поле гравитационных сил следующее простое выражение:

(18)

Опять выходит, что суммарную работу можно найти, зная только начальное и конечное положение материальной точки.

       Для Кулоновских сил выражение по структуре совпадает с тем, что дает закон всемирного тяготения с заменой масс на заряды, гравитационной постоянной на соответствующий коэффициент:

(19)

Знака минус нет, поскольку одноименные заряды отталкиваются. Отсюда понятно, что выражение для Кулоновских сил получается из выражения для работы в поле тяготения (19) с соответствующими заменами констант и знака:

(20)

Работа сил трения.

В рассмотренных выше случаях работа не зависела от закона движения, а только от начального и конечного положения материальной точки. Возникает вопрос: «а для всех видов сил работу можно вычислить, зная только начальной и конечное положение частицы?»

       Ответ на этот вопрос отрицательный. Чтобы показать это, достаточно рассмотреть хотя бы один пример, когда это не так. Т.е. когда тело приходит из одной точки в другую по двум разным траекториям и совершает разную работу. Для этого рассмотрим перемещение тела из точки (1) в точку (2) по двум разным траекториям (Рис.1).

Рис.1

Подсчитаем работу силы трения при перемещении материальной частицы из точки (1) в точку (2) по пути (1-2) и по пути (1-0-2). Поскольку сила трения постоянна и всегда направлена против направления движения , то выражение для соответствующих работ равно:

	(20a)
	(20b)

Здесь  и  пути пройденные частицей при перемещении по траектории (1-2) и (1-0-2) соответственно. Из рисунка видно, что пути для рассмотренных траекторий не совпадают, и силы трения совершают разную работу, хотя обе траектории начинаются и заканчиваются в одной и той же точке.

Мы пришли к выводу, что существуют два типа сил.

1. Консервативные силы (потенциальные силы) — силы, работа которых не зависит от траектории материальной точки, а зависит только от начального и конечного положения этой точки. Очевидно, что работа таких сил для замкнутой траектории (траектории, когда начальная и конечная точка совпадают) равна нулю.
2. Неконсервативные силы — работа таких сил зависит от траектории и не равна нулю по замкнутой траектории.

Работу сил по замкнутой траектории можно записать как интеграл по контуру. Для консервативных сил этот интеграл равен нулю, а для неконсервативных — нет. Таким образом, условие потенциальности сил записывается в виде

	(21a)
	(21b)

Мы показали, что консервативными силами являются:

1. Однородные силы

2. Гравитационные силы

3. Кулоновские силы

4. Упругие силы

Примерами неконсервативных сил являются:

1. Сила трения

2. Сила сопротивления

Случай с силой сопротивления ( ) не рассматривался, но очевидно, что эта сила неконсервативная. Достаточно, например, рассмотреть случай, когда частица с постоянной по модулю скоростью описывает окружность радиуса  и возвращается в прежнее положение. Очевидно, что в этом случае:

(22)

Потенциальная энергия.

Поскольку для потенциальных сил величина работы зависит только от начального и конечного положений, то можно ввести такую функцию, которая позволяет рассчитывать работу, не вычисляя сложных интегралов. Разность значений этой функции в начальной и конечной точках будет давать нам величину работы совершенной этими силами:

(23)

Из этой формулы видно, что потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной (константы), которая не влияет на величину разности в (23). Из рассмотренных выше примеров можно написать выражение для потенциальной энергии в случае рассмотренных выше потенциальных сил:

1. Однородная силы тяжести:

(24)

1. Упругие силы:

(25)

И начало отсчета выбирается в положении равновесия.

1. Сил тяготения:

(26)

1. Кулоновские силы:

(27)

Константы мы всегда будем выбирать равными нулю. Они не влияют на величину работы т.к. взаимно уничтожаются при вычитании. Однако их нужно выбрать раз и навсегда.