Знаходження моменту інерції твердого тіла методом Гауса

Обладнання: крутильний маятник, лічильник часу, штангенциркуль, кільце з відомою масою; тіло довільної форми, момент інерції якого вимірюється.

Мета роботи: ознайомитись з одним із методів експериментального визначення моменту інерції твердого тіла – методом Гауса, або методом обертальних коливань, знайти момент інерції заданого тіла.

Теоретичні відомості та описання лабораторної установки

Крутильний маятник зображений на рисунку 1. Він складається з сталевої проволки 1 натягнутої між двома вертикальними затискачами А і В; посередині проволки закріплене тіло 3, момент інерції якого вимірюється; на тілі 3 знаходиться кільце 2, відомої маси.

                                                                                                2

                                    1

                                                                                                               3

Рис. 1

Крутильні або обертальні коливання в даній системі виникають внаслідок дії моменту пружних сил, який виникає при закручуванні сталевої проволки. Згідно закону Гука проекція моменту пружних сил на вісь обертання дорівнює:

                                                   (1)

де:  - модуль кручення проволки;  - малий кут кручення в радіанах.

З іншого боку, якщо знехтувати опором, то проекція моменту пружних сил, за основним законом динаміки обертального руху повинна дорівнювати:

                                                   (2)

де:  - момент інерції тіла, закріпленого посередині проволки.

Прирівнюючи проекції моменту пружних сил із виразів (1) та (2) отримаємо диференціальне рівняння гармонічних коливань даної системи:

                                                (3)

З рівняння (3) можна визначити циклічну частоту  та період  власних коливань для крутильного маятника:

                                            (4)

оскільки, за визначенням  , то:        .                          (5)

Запровадимо такі позначення:  - момент інерції тіла 3;  - момент інерції кільця 2;  - циклічна частота коливань маятника у випадку, коли посередині проволки закріплене тільки тіло 3;  - період коливань маятника у випадку, коли посередині проволки закріплені тіло 3 і кільце 2 разом.

Згідно формулі (5) періоди коливань будуть дорівнювати:

;                                                   (6)

.                                           (7)

Підводячи обидві частини рівнянь (6) та (7) до квадрату і розділивши одне рівняння на друге маємо:

.                             (8)

В даній лабораторній роботі, на досліді, ми будемо вимірювати час  , за який тіло 3 здійснить рівно  повних коливань і час  , за який кільце 2 разом із тілом 3 здійснить таку ж само кількість повних коливань  , тоді періоди коливань можна буде знайти таким чином:

 .                                              (9)

Підставляючи співвідношення (9) у вираз (8) отримаємо формулу для знаходження моменту інерції тіла 3:

.                                           (10)

Використовуючи формулу (10) можна обчислити момент інерції тіла 3, якщо буде відомий момент інерції кільця  . Виразимо момент інерції кільця , відносно його осі симетрії, через його масу  , зовнішній радіус кільця  та його внутрішній радіус .

     Якщо розподіл мас у кільця неперервний, то його момент інерції, за визначенням, можна знайти як інтеграл:

 ,                                          (11)

де:  - маса частки кільця нескінчено малого об’єму  ( під нескінчено

         малою часткою треба розуміти кільце нескінчено малої ширини );

 - відстань нескінчено малої частки кільця до осі обертання ( див. рис. 2).

                                                  Рис. 2.

Загальний об’єм кільця  дорівнює:

 ,                                            (12)

де:  - товщина кільця, тоді середня густина кільця  буде дорівнювати:

 .                                          (13)

Об’єм нескінчено малої частки кільця  буде дорівнювати:

 ;                                                (14)

тоді маса частки  буде такою:

 , тобто,   .         (15)

Підставляючи масу частки (15) в інтеграл (11), отримаємо момент інерції кільця:

 . (16)

На досліді вимірюються зовнішній та внутрішній діаметри кільця 2, зв’язок між радіусами та діаметрами, звичайно, буде таким:

 .                                      (17)

Підставивши вирази (17) у співвідношення (16) одержимо:

 .                                         (18)

Порядок виконання роботи

1. Штангенциркулем виміряти зовнішній та внутрішній діаметри кільця 2.

2. П’ять раз виміряти час  , за який тіло 3 здійснює  - повних коливань.

3. П’ять раз виміряти час  , за який тіло 3, разом із кільцем 2 здійснює рівно  - повних коливань. Результати вимірювань, в системі одиниць виміру СІ, занести в таблицю:

	, с	, с	Примітка
1			;             ;         ;         ;     ;            ;     ;           ;      ;         ;        ;    ;          ;        ;
2
3
4
5

4. Використовуючи методику оцінки точності прямих вимірювань обчислити середні значення часу коливань  та  і відповідні їм інтервали сподівання  та .

5. Обчислити відносні похибки вимірювань часу коливань  та , які за визначенням дорівнюють:

                                           ;

6. Використовуючи формулу (18) обчислити середнє значення моменту інерції кільця  .

7. Обчислити інтервал сподівання для моменту інерції кільця  за формулою:

                            .

8. Обчислити відносну похибку вимірювань моменту інерції кільця, яка за визначенням дорівнює:

                                                       .

9. Використовуючи формулу (10) обчислити середнє значення моменту інерції тіла  .

10. Обчислити інтервал сподівання для моменту інерції тіла  за формулою:

                              .

11. Обчислити відносну похибку вимірювання моменту інерції тіла 3, яка за визначенням дорівнює:

                                                 .

Контрольні питання

1. Як обчислити момент інерції тіла при неперервному розподілі мас ?

2. Обчислити, за визначенням, момент інерції тонкого кільця.

3. Обчислити, за визначенням, момент інерції диску.

4. В чому полягає метод Гауса для вимірювання моменту інерції тіла ?

5. Визначення кутового прискорення.

6. Сформулюйте основний закон динаміки обертального руху.

Лабораторна робота № 43

Визначення швидкості поширення звуку у повітрі та адіабатичної сталої повітря

Обладнання: труба із закріпленими в її торцях мікрофонами, генератор звукової частоти, осцилограф, термометр.

Мета роботи: ознайомитись з одним із методів визначення швидкості звуку у повітрі – методом стоячих хвиль, використовуючи його, визначити швидкість звуку у повітрі, обчислити адіабатичну сталу для повітря.

Теоретичні відомості та описання лабораторної установки

У мікрофоні 1 (див. рис. 1) електричні коливання з циклічною частотою , створені звуковим генератором 3, перетворюються у механічні коливання такої ж самої частоти мембрани мікрофону. Механічні коливання мембрани утворюють пружну звукову хвилю, яка поширюється у повітря, що знаходиться всередині труби.

3                              М1                             М2         4        5