Знаходження середнього значення та інтервалу сподівання опосередкованих вимірювань.

Методичні вказівки

до виконання лабораторних робіт з фізики

Розділи

“МЕХАНІКА”, “МЕХАНІЧНІ КОЛИВАННЯ ТА ПРУЖНІ ХВИЛІ”,

“МОЛЕКУЛЯРНО – КІНЕТИЧНА ТЕОРІЯ ТА

ТЕРМОДИНАМІКА”

Частина 1

                                             Затверджено на засіданні

                                  кафедри фізики

протокол №7 від 23.12.2004 р.

Київ – 2005

Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт з фізики. Розділи “Механіка”, “Механічні коливання та пружні хвилі”, “Молекулярна фізика та термодинаміка”. /Упорядники А.П. Клименко, В.Ф. Лапшин, К.В. Авдонін, В.К. Максімов, Б.М. Стаднік, Годованюк – К.: КНУТД, 2005. – 53 С. Укр. мовою./

УПОРЯДНИКИ: А.П. Клименко

                        В.Ф. Лапшин

                        К.В. Авдонін

                        В.К. Максимов

                        Б.М. Стаднік

                                 Годованюк

Підготовка до виконання лабораторної роботи

1. Написати протокол у зошиті для звітів з лабораторних робіт по дисципліні загальна фізика, в якому повинно бути:

- тема роботи;

- обладнання;

- мета роботи;

- стислі теоретичні відомості;

- порядок виконання роботи;

- таблиці результатів вимірювань та обчислень.

2. Повторити теорію, відповідну до теми роботи, використовуючи конспект лекцій або посібники з курсу загальної фізики.

3. Знайти відповіді на контрольні питання, мати загальне уявлення про методи вимірювання фізичних величин в даній лабораторній роботі.

Оцінка точності вимірювань фізичних величин

Всі виміри фізичних величин поділяються на два типи:

1. Прямі вимірювання – безпосередньо за допомогою приладу;

2. Опосередковані вимірювання – величина обчислюється за відомою формулою, в яку входять, як параметри, величини знайдені прямими вимірюваннями.

Нехай фізична величина, яка вимірюється. Величина  має, звичайно, істинне значення , яке ми ніколи не взнаємо, оскільки будь – яке вимірювання має похибку. Наближеним до  значенням величини буде середнє значення виміряних величин, яке позначимо через , точність його наближення до істинного значення  оцінюється за допомогою інтервалу сподівання , який на числовій прямій можна зобразити таким чином:

Істинне значення  може, як належати, так і не належати інтервалу сподівання. Позначимо через імовірність події, яка полягає в тому, що істинне значення величини належить інтервалу сподівання. Ця імовірність задається довільно і чим більше вибране значення  наближається до одиниці, тим більшим повинен бути інтервал сподівання .

Знаходження середнього значення та інтервалу сподівання для прямих вимірювань.

Позначимо через фізичну величину, яка вимірюється прямим шляхом. Якщо разів її вимірювати, то в загальному випадку одержуємо  різних значень цієї величини: . Послідовність обчислень, необхідних для знаходження середнього значення та оцінки точності вимірювань така:

1. Обчислити середнє значення величини, як середньоарифметичне від виміряних величин:     

       .                                            (1)

2. Обчислити систематичну складову інтервалу сподівання (похибку, яка залежить від точності приладу). Позначимо її через :

(найменша поділка шкали приладу); якщо у приладу немає

       класу точності;

, якщо у приладу є клас точності, який ми позначили через ,

       максимальне значення величини, яку можна виміряти

                 приладом в даному випадку.

3. Обчислити стандартну похибку вимірювань :

    ;                                     (2)

стандартна похибка є характеристикою випадкової складової інтервалу сподівання.

4. Порівняти між собою систематичну та випадкову складові інтервалу сподівання, для цього знаходимо безрозмірне число  , яке дорівнює відношенню:

                                                                  (3)

5. Обчислити випадкову складову інтервалу сподівання, позначивши її через :

                                                                                  (4)

де: коефіцієнт Стьюдента, параметр, який треба вибрати із таблиць, задаючись певним значенням імовірності  та враховуючи кількість вимірювань . Значення коефіцієнтів Стьюдента, які найчастіше будуть використовуватись в лабораторних роботах приведені в таблиці:

6. Знайти інтервал сподівання для прямих вимірювань за правилами:

                   , якщо ;

                        , якщо ;

       , якщо .                 (5)

Знаходження середнього значення та інтервалу сподівання опосередкованих вимірювань.

   Нехай фізична величина, яку ми вимірюємо опосередкованим чином, тобто обчислюємо її за відомою формулою:

                                                (6)

де:  - величини, виміряні прямим шляхом, тоді, звичайно, можна обчислити їх середні значення  та інтервали сподівання , використовуючи методику оцінки точності прямих вимірювань. Далі послідовність обчислень буде такою:

1. Знаходимо середнє значення, яке позначимо через :

                                                             (7)

2. Обчислюємо інтервал сподівання :

                           (8)

Спільною характеристикою точності прямих та опосередкованих вимірювань є відносна похибка вимірювань, яку ми позначимо через .Обчислюється вона, як відношення:

 ;                                          (9)

      Результат прямих та опосередкованих вимірювань необхідно записувати в стандартному вигляді:

                  ;                                   (10)

Застосування методу найменших квадратів до вимірювання фізичних величин.

Нехай нам відомо, що дві фізичні величини  та , які ми вимірюємо, зв¢язані лінійною залежністю:

 , де:  , які треба знайти.             (11)

Результатами вимірювань будуть пари відповідних значень величин:

         ;                                 (12)

кожній парі значень на координатній площині відповідає точка, як показано на рисунку 1:

                            Y

                    O                                       X

                                                      Рис. 1.                                                            

   Для знаходження невідомих сталих  та , можна провести на координатній площині пряму, яка буде проходити якомога ближче до всіх точок, що ілюструють результати експерименту (див. рис. 1), тоді: , а параметр  дорівнює координаті точки перетину прямої з віссю Y.

  Метод найменших квадратів дозволяє знайти параметри лінійної залежності  та інтервали сподівання для них  , шляхом тільки обчислень.

а) Якщо залежність між  та  має вигляд:  , тобто , то

   послідовність обчислень буде такою:

1.Обчислити величини  за формулами:

          ; .                              (13)

   2. Знайти параметр , як відношення знайдених величин:

                   .                                          (14)

  3. Обчислити інтервал сподівання :

        .                             (15)

 б) Якщо залежність між  та  має вигляд:  , тобто , то

послідовність обчислень буде такою:

1. Обчислити величини  , за формулами:

                 ;     ;   ;                    

;   ;  .     (16)

2. Обчислити коефіцієнт кореляції  :

            .                                           (17)

коефіцієнт кореляції – це безрозмірне число в межах , яке

характеризує степінь взаємозв¢язку величин  та , якщо , то всі

точки, які ілюструють результати експерименту (див. рис. 1), належать

одній прямій. Якщо , то величини  та  лінійно не зв¢язані.

3. Обчислити параметри лінійної залежності  і  за правилами:

                                                              (18)

                                                                   (19)

4. Обчислити інтервали сподівання  та  для параметрів:

 ;                                     (20)

                    .                                              (21)

Лабораторна робота № 1

Вимірювання густини тіла

Обладнання: технічні терези, штангенциркуль або мікрометр, тіло циліндричної форми.

Мета роботи: на прикладі обчислення густини речовини засвоїти методику оцінки точності результатів вимірювань.

Теоретичні відомості

Середньою густиною зветься відношення маси тіла  до його об¢єму :

                                                                             (1)

Густиною  речовини в даній точці тіла зветься величина, що дорівнює:

                                                                (2)

Якщо тіло однорідне, то:           .

      В даній лабораторній роботі масу тіла знаходимо, використовуючи технічні терези. Вимірявши діаметр та висоту циліндра штангенциркулем, знаходимо його об¢єм: , тоді, вважаючи тіло однорідним знаходимо його густину за формулою:

    .                                         (3)

Порядок виконання роботи

1. Виміряти по п¢ять разів діаметр та висоту циліндра.

2. Виміряти на технічних терезах масу циліндра. Результати вимірювань занести в таблицю:

№	, мм	, мм	Примітка
1			;        ;          ; ;       ;              ;         ;         ;
2
3
4
5

3. Обчислити середні значення та інтервали сподівання для висоти і діаметру циліндра.

4. Користуючись формулою (3) знайти середнє значення густини тіла, обчислити інтервал сподівання для густини за формулою:

                                       (4)

5. Записати результат вимірювання густини в стандартному вигляді та обчислити відносну похибку вимірювань для густини тіла.

Контрольні питання

1. Які існують типи вимірювань?

2. Як обчислити середнє значення при прямому вимірюванні величини?

3. В якому випадку інтервал сподівання для прямих вимірювань дорівнює тільки випадковій складовій?

4. В якому випадку інтервал сподівання для прямих вимірювань дорівнює тільки систематичній складовій?

5. Як знайти середнє значення при непрямому вимірюванні величини?

6. Що таке стандартна похибка?

7. Як знайти інтервал сподівання для непрямих вимірювань?

8. Що таке відносна похибка вимірювань?

Лабораторна робота № 3