Исследование устойчивости САР

В автоматических системах регулирования замкнутых систем при появлении возмущающих воздействий в общем случае возникают колебания. Они могут быть затухающими, не затухающими, расходящимися (переходные процессы могут иметь и не колебательный апериодический характер). Системы, в которых возникают расходящиеся колебания, не работоспособны; при их применении нарушается ход технологического процесса, что может привести к аварии. Для описания характеристики введено понятие устойчивости.

Автоматическая система регулирования называется устойчивой, если она, выведенная из состояния равновесия после снятия возмущающего воздействия возвращается к прежнему состоянию равновесия. Устойчивость – внутренние свойство системы, не зависит от внешних воздействий. Переход от устойчивой системы к неустойчивой характеризуется возникновением незатухающих колебаний выходной величины, при этом система находится на границе устойчивости. Выделяют два условия устойчивости:

1. по Цыпкину Я.З.

2. по Ляпунову А.М.

2.1. Если корни с отрицательными действительными частями, то реальная система так же будет устойчивой, т.е. учет малых нелинейных членов не может нарушить устойчивость.

2.2 Если характерное уравнение имеет хоть один корень с положительной действительной частью, то реальная система так же будет неустойчива, т.е. учет малых нелинейных членов не может сделать ее устойчивой.

2.3 При наличии нулевых и чисто мнимых корней поведение реальной системы не всегда определяется ее линейным уравнением, т.е. учет малых нелинейных членов может изменить характер переходного процесса, сделав систему устойчивой или неустойчивой. Если хотя бы два корня характерного уравнения чисто мнимые (лежат в комплексной плоскости), а остальные имеют отрицательные действительные части, то в системе возникают незатухающие колебания, т.е. система находиться на границе устойчивости.

В качестве критерия устойчивости будем использовать наиболее часто применяемый частотный критерий Найквиста.

Частотный критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой автоматической системы по характеристикам разомкнутой.

Формулировка 1.

Автоматическая система регулирования устойчива или нейтральна, устойчива в разомкнутом состоянии, устойчива в замкнутом, если амплитудная фаза частотной характеристики разомкнутой системы при изменяемой частоты от 0 до +∞ не охватывают на комплексной  плоскости точку с координатой (-1,j,0).

АФЧХ (амплитудная фаза частотная характеристика) разомкнутой САР (система автоматического регулирования).

Рисунок №15

1 – устойчивая система

2 – система на границе устойчивости

3 – не устойчивая система

Формулировка 2.

Система автоматического регулирования, не устойчивая в разомкнутом состоянии, устойчива в замкнутом, если разность между положительным переходами АФЧХ (амплитудная фаза частотная характеристика) на интервале  -∞ до -1,j,0 и отрицательными переходами равным половине корней уравнения разомкнутой системы с положительной вещественной частью. Положительный переход – это переход годографа сверху вниз. Отрицательный переход – это переход годографа снизу вверх.

Рисунок № 16

Рисунок № 17

Осуществим построение годографа АФЧХ (амплитудная фаза частотная характеристика) разомкнутой системы автоматизации.

Структура замкнутой системы автоматизации имеет вид.

Рисунок № 18

В этом случае W – координатное возмущение, приведенное ко входу системы.

В динамическом виде система имеет вид.

Рисунок № 19

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

Для того, чтобы построить АФЧХ (амплитудная фаза частотная характеристика) разомкнутой системы автоматизации необходимо s заменить на j w.

Выделим мнимую и действительную часть:

 - действительная часть.

[

- мнимая часть.

то есть:

В Excel строим таблицу по исходным данным и получаем график.

Рисунок № 20

Вывод: поскольку АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку с координатой (-1; j,0), система автоматического регулирования в замкнутом состоянии будет устойчивой (по упрощенной формулировке критериям Найквиста).