РАСЧЕТ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ И СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОГО ОТКЛОНЕНИЯ СИГНАЛА ОШИБКИ

Замена нелинейного звена линеаризованной моделью позволяет использовать принцип суперпозиции - провести раздельный анализ преобразования системой детерминированных и случайных составляющих входных сигналов. Особенность применения принципа суперпозиции на основе статистической линеаризации состоит в том, что для случайных составляющих нелинейное звено заменяется безынерционным звеном с коэффициентом k₁, а для детерминированных - безынерционным звеном с коэффициентом k₀ (при нечетной нелинейности) или постоянным сигналом j₀.

Определяемые по полученным выше формулам коэффициенты статистической линеаризации оказываются функциями моментов распределения сигналов на входе нелинейности, которые, в свою очередь, вычисляются через передаточные функции системы, включающей в себя линеаризованное звено, то есть зависят от коэффициентов статистической линеаризации. Вследствие этого расчет стационарного процесса в статистически линеаризованной системе сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений, требующему применения численных методов.

Для заданной системы (рисунок 1) передаточная функция линейной части:

.

Задающее воздействие изменяется по закону g(t)=g1(t). На входе действует случайная помеха F(t) с нулевым математическим ожиданием и спектральной плотностью . Требуется определить математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение сигнала ошибки в установившемся процессе.

Выделим детерминированную и случайную составляющие сигнала ошибки: . С учетом характера входных сигналов и в соответствии с принципом суперпозиции составляющие сигнала ошибки в линеаризованной системе будут определяться следующим образом:

m_x(t)= x_gуст, .

Для расчета детерминированной составляющей сигнала ошибки после линеаризации используется структурная схема (рис. 4,а), а для расчета центрированной случайной составляющей - структурная схема (рис. 4,б), где

,

 =k₁(m_x,σ_x).

Для полученных структурных схем искомые характеристики сигнала ошибки определяются следующим образом: m_E=m_x, D_E=D_Y.

При расчете детерминированной составляющей передаточная функция замкнутой системы по ошибке имеет вид:

.

В результате: .

Среднеквадратическое отклонение сигнала ошибки в рассматриваемой задаче полностью определяется возмущающим воздействием и находится через дисперсию выходного сигнала и передаточную функцию замкнутой системы по возмущению, которая в рассматриваемом примере примет вид:

.

В результате:

,

Коэффициенты полиномов (1) примут вид:

a₀=T₁T₂, , ,

, b₀=0, b₁=0, .

Определители (3) будут иметь третий порядок и получаются следующими:

=

.

В результате:

При заданных k, T и c для расчета характеристик ошибки необходимо решить систему нелинейных алгебраических уравнений:

m_E= ,

,

,

. 

4. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ЗАВИСИМОСТЕЙ

С помощью программы, написанной на языке MATLAB, решив систему методом последовательных приближений, мы найдем зависимости  коэффициентов статистической линеаризации, математического ожидания и среднеквадратического отклонения ошибки системы E(t) от величины коэффициента передачи k. Для нахождения зависимости M от k использована функция MATLAB fzero. Текст программы представлен в приложении А. Графики зависимостей представлены на рисунках 5-9.

Рисунок 5

Рисунок 6

Рисунок 7

Рисунок 8

Рисунок 9

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Оптимальным коэффициентом передачи линейного звена является такое значение, которому соответствует наименьшее значение параметра M. С настоящими исходными данными минимума для функции М нет, так как зависимость монотонно возрастающая.

 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. - СПб: Профессия, 2003.

2. Емельянов В. Ю. Методы моделирования стохастических систем управления: учеб. пособие для ВУЗов. – СПб: БГТУ, 2004.

3. Андриевский Б.Р., Емельянов В.Ю., Коротков Б.Ф. Теория управления: Лабораторный практикум в среде MATLAB/SIMULINK. – СПб: БГТУ, 2001.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

function kurs;

t1=0.5; t2=3; g=1; a=5; d=10;

mx=1; sigx=1;

k0=2; k1=1; e=1;

i=1; k=0.5

while k<=20

mx=1; sigx=1;

k0=2; k1=1; e=1; mx1=g/(1+k0*k);

while e>0.0001

mx1=g/(1+k0*k); sigx1=sqrt(k*k*k1*k1*2*a*d*(t1*t2*(a*t1*t2+t1+t2))/2/t1/t2/(a*(1+k1*k)*((a*t1*t2+t1+t2)*(a*t1+a*t2+1+k1*k)-t1*t2*(a+a*k1*k))));

k01=2/mx*erf(mx/sigx/sqrt(2))/2;

kk1=1/sigx*sqrt((1-4*erf(mx/sigx/sqrt(2))/2*erf(mx/sigx/sqrt(2))/2));

kk2=2/(sigx*sqrt(2*3.14))*exp(-(mx*mx/2/sigx/sigx));

k11=(kk1+kk2)/2;

e=abs(mx-mx1)+abs(sigx-sigx1)+abs(k0-k01)+abs(k1-k11);

mx=mx1;

sigx=sigx1;

k0=k01;

k1=k11;

end;   

mas1(i)=k0;

akx1(i)=k;

mas2(i)=k1;

m = fzero(@(m) p(m,mx,sigx),1.0);  

mx2(i)=mx;

sigx2(i)=sigx;

m1(i)=m;

i=i+1;

k=k+0.1

end;

sigx=sigx1

plot(akx1,m1,'.'); grid;