ПОРЯДОК РАСЧЕТА УСТАНОВИВШЕГОСЯ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА В СИСТЕМЕ УПРАВЛЕНИЯ

Им. Д. Ф. УСТИНОВА

КУРСОВая работа

по учебной дисциплине Спецглавы теории автоматического управления

на тему      Параметрический синтез нелинейной стохастической системы

студентки _____________Цыкиной   Юлии Николаевны__________

Фамилия ,    Имя ,    Отчество   студента

группы ______И361________

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2009 г.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Задана структурная схема системы (рисунок 1)

Рисунок 1.

и передаточная функция детерминированной части:

.

Задающее воздействие детерминированное: .

Помеха  - стационарная случайная функция с математическим ожиданием, равным нулю, и спектральной плотностью

.

Требуется:

1. Рассчитать зависимости математического ожидания и дисперсии ошибки системы  от величины коэффициента передачи  в установившемся процессе. Автоколебания в системе считаются недопустимыми .

2. Выбрать оптимальное значение  из условия минимума границы значений  по вероятности: .

Исходные данные представлены в таблице.

ПОРЯДОК РАСЧЕТА УСТАНОВИВШЕГОСЯ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА В СИСТЕМЕ УПРАВЛЕНИЯ

Для расчета установившегося случайного процесса в системе при стационарных случайных воздействиях применяется спектральный метод.

Данный аналитический метод, называемый также методом передаточных функций, детально развит в рамках теории автоматического управления [1,2] и основан на использовании структурно-динамических схем систем и спектральных плотностей случайных процессов. Непосредственное использование спектральных плотностей возможно только для стационарных процессов. Поэтому данный метод позволяет строить модели процессов, соответствующих некоторым установившимся режимам в стационарных системах при стационарных воздействиях.

Применение данного метода основано на использовании двух свойств линейных систем:

1. Реакция линейной системы на совокупность входных воздействий может быть определена как сумма ее реакций на каждое из них в отдельности (принцип суперпозиции).

2. Случайный сигнал на выходе физически реализуемого линейного динамического звена имеет закон распределения, близкий к нормальному (свойство фильтра).

Второе свойство, строго говоря, имеет место при следующем соотношении между порядком знаменателя n и числителя m передаточной функции звена или системы: n – m ≥ 2. Однако его обычно используют во всех случаях, когда выполняется условие физической реализуемости n–m ≥ 1.

Благодаря указанным свойствам оказывается возможным изолированно рассматривать преобразование линейной системой детерминированных и центрированных случайных составляющих входных сигналов и ограничиваться для выходного сигнала или ошибки системы нахождением только математического ожидания и дисперсии, полностью определяющих нормальный закон распределения. Для оценки корреляционных свойств выходных сигналов используются корреляционные функции и спектральные плотности.

Каждый случайный входной сигнал преобразуется в сумму:

,

где m_g(t) - детерминированная составляющая, или математическое ожидание входного сигнала; - центрированная случайная составляющая входного сигнала (случайный процесс с нулевым математическим ожиданием).

Модель преобразования детерминированной составляющей строится на основе стандартного аппарата передаточных функций:

L[m_y(t)] = Φ(p)L[m_g(t)],

где L[m_g(t)], L[m_y(t)] - изображения по Лапласу детерминированных составляющих соответственно входного и выходного сигналов; Φ(p) - передаточная функция звена или системы.

Выходной сигнал в установившемся процессе может быть определен по теореме о конечном значении:

Например, при m_g(t)=const для асимптотически устойчивой системы получим: m_y=Φ(0)m_g=const.

Модель преобразования центрированной случайной составляющей строится для спектральных плотностей

S_y(ω)=|Φ(jω)|²S_g(ω),

где спектральная плотность входного сигнала определяется по его корреляционной функции

По полученной спектральной плотности выходного сигнала находят его дисперсию:

Этот интеграл обычно удается привести к форме:

,

где h_n(jω)=b₁(jω)^2n-2 +b₂(jω)^2n-4 +...+b_n, g_n(jω)=a₀(jω)ⁿ +a₁(jω)^n-1 +...+a_n.      (1)

Тогда:

,                                       (2)

где ∆_n - n-й определитель Гурвица для многочлена g_n(p) [3], а ∆'_n получается из ∆_nзаменой 1-й строки коэффициентами многочлена h_n. Например, при n=4

, .            (3)

Для системы с несколькими случайными входными сигналами, если они не коррелированы между собой, математическое ожидание и дисперсия выходного сигнала определяются на основе принципа суперпозиции:

,

,

где  и  - математическое ожидание и спектральная плотность k-го входного сигнала (задающего или возмущающего воздействия); ;  - передаточная функция системы от k-го входа к выходу.

Таким образом, выходной сигнал определяется в форме , причем центрированная случайная составляющая описывается дисперсией D_y.

Аналогичный подход используется при нахождении ошибки системы. Она определяется в форме: . Пусть на систему действуют детерминированное задающее воздействие g(t) и несколько некоррелированных случайных возмущений , k=1,2,…,K.

Тогда математическое ожидание ошибки определяется в виде суммы:

,

где , , Φ_x(p) - передаточная функция системы по ошибке от задающего воздействия,  - передаточная функция системы по k-му возмущающему воздействию, k=1,2,...,K.

Дисперсия ошибки совпадает с дисперсией выходного сигнала.