СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ЧАСТИ СИСТЕМЫ

Статистической линеаризацией называется построение линейной модели нелинейного звена системы управления с учетом характеристик преобразования случайного сигнала линейной частью системы (рисунок 2).

Для однозначной нелинейности общего вида статистически линеаризованная модель имеет вид: .

Для однозначной нечетной относительно входного сигнала нелинейности j(-x)=-j(x) коэффициент j₀ выражают через математическое ожидание входного сигнала: j₀ = k₀m_x.

Коэффициент j₀называется средней статистической характеристикой нелинейности; коэффициент k₀ - статистическим коэффициентом усиления по математическому ожиданию; коэффициенты k₁- статистическим коэффициентам усиления по случайным составляющим входных сигналов.

Значения коэффициентов статистической линеаризации определяют на основе критериев вероятностной эквивалентности. Обычно используют два критерия.

Первый критерий состоит в равенстве математических ожиданий и дисперсий сигналов на выходе статистически линеаризованного и исходного нелинейного звеньев. Для однозначной исходной нелинейности имеем:

,

,

где f(x) - ПРВ сигнала X на входе нелинейного звена.

Математическое ожидание выходного сигнала линеаризованного звена M[Y] равно j₀ (или k₀m_x для нечетной нелинейности), а его дисперсия D[Y] связана с дисперсией и среднеквадратическим отклонением входного сигнала в соответствии с (4.15):

В результате получим:

или ,            (4)

.                     (5)

Знак в формуле соответствует знаку производной  в точке, соответствующей m_x.

Второй критерий состоит в минимизации среднего квадрата ошибки аппроксимации выходного сигнала нелинейного звена выходным сигналом линеаризованного звена:

.

Раскроем скобки в выражении для h² и применим к нему первое необходимое условие экстремума по j₀ и k₁:

,

,

.

Решение полученных уравнений дает выражения для определенияj₀  и k₁, доставляющих минимум h²:

 ,

.            (6)

Обычно рекомендуют вычислять k₁ как среднее арифметическое:

,

где - значение, получаемое на основе первого критерия по (4.20);  - значение, получаемое на основе второго критерия по (4.21).

Все полученные расчетные соотношения для определения коэффициентов статистической линеаризации предусматривают использование ПРВ сигналов на входе линеаризуемого звена. В силу допущения о наличии у линейной части системы свойства фильтра, обычно используется ПРВ нормального закона распределения.

В курсовой работе задано нелинейное звено с однозначной статической характеристикой типа двухпозиционного реле (рисунок 3).

Его линеаризация выполняется в форме . Для определения k₀ применим формулу (4):

,

где  - стандартизованная нормальная величина. И далее:

,

где Ф(u) - интеграл вероятностей, рассмотренный в разд. 3.

Аналогично на основе (5), (6) можно получить:

,

.