Переполнение разрядной сетки формата числа

При сложении может возникнуть ситуация, когда старшие разряды результата операции не помещаются в отведенной для него области памяти.

 Такая ситуация называется переполнением разрядной сетки формата числа.

Два возможных случая переполнения

1.А и В положительные,

сумма А+В больше, либо равна 2n–1,

где n – количество разрядов формата чисел

(для однобайтового формата n=8,

2n–1=27= 128).

А и В отрицательные, сумма абсолютных величин А и В больше, либо равна 2n–1 

Сложение
дополнительных кодов

А и В положительные

   При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака. Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю.

   Здесь нет отличий от случая, рассмотренного для обратного кода.

Сложение
дополнительных кодов

А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А

   При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются и к младшему разряду прибавляется единица

Сложение
дополнительных кодов

А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А

А и В отрицательные

В этих случаях единица переноса из знакового разряда отбрасывается.

Случаи переполнения для дополнительных кодов аналогичны случаям для обратных кодов.

Умножение

Умножение производится как последовательность сложений и сдвигов.

Для этого необходимы два регистра:

•накапливающий сумматор

•множитель

•Накапливающий сумматор вначале содержит ноль. В процессе выполнения операции в нем поочередно размещаются множимое и результаты промежуточных сложений, а по завершении операции — окончательный результат.

•Другой регистр вначале содержит множитель. Затем по мере выполнения сложений содержащееся в нем число уменьшается, пока не достигнет нулевого значения.

Представление вещественных чисел

Вещественными числами называются числа, имеющие дробную часть.

 При их написании вместо запятой принято писать точку.

 Пример: десятичное число 1.25

                    можно представить так

   1.25*100 = 0.125*101 = 0.0125*102 = ... ,

12.5*10–1 = 125.0*10–2 = 1250.0*10–3 = ...

Правила записи вещественных чисел

1. Только цифры

2. Ровно одна точка

3. Может быть знак + или –

Исключение:

экспоненциальная форма

записи вещественных чисел

Экспоненциальная форма
записи вещественных чисел

Любое число N в системе счисления с основанием q можно записать в виде

N = M * qp,

где M - мантисса числа, а p — порядок.

Пример: 37.2*10-2 = 37.2E-2 = 0.372

Такой способ записи чисел называется представлением с плавающей точкой.

Числа с плавающей точкой

При хранении числа с плавающей точкой отводятся разряды для мантиссы, порядка, знака числа и знака порядка

nЧем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точность представления числа.

nЧем больше разрядов занимает порядок, тем шире диапазон от наименьшего отличного от нуля числа до наибольшего числа, представимого в машине при заданном формате

nМантисса должна быть правильной дробью, первая цифра которой отлична от нуля, то есть

   M из [0.1, 1).

Характеристики форматов вещественных чисел

Алгебра логики

   - это математический аппарат, с помощью которого записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические высказывания.

Создал Дж. Буль в XIX веке 

Логическое высказывание

   - это любoе повествовательное пpедлoжение, в oтнoшении кoтopoгo мoжно oднoзначнo сказать, истиннo oнo или лoжнo

Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения — является ли оно истинным или ложным.

Bысказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными. 

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не”, “и”, “или”, “если... , то”, “тогда и только тогда” и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания.
Такие слова и словосочетания называются логическими связками.

   Истинность или ложность получаемых таким образом составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний.

Логические операции

Каждая логическая связка - операция над логическими высказываниями:

1. Операция, выражаемая словом “не”, называется отрицаниеми обозначается чертой над высказыванием.

2. Операция, выражаемая связкой “и”, называется конъюнкцией или логическим умножением и обозначается точкой "•" (может также обозначаться &).

   Высказывание

А&В

истинно тогда и только тогда,

когда оба высказывания А и В истинны.

3. Операция, выражаемая связкой “или” называется дизъюнкцией или логическим сложением и обозначается знаком v (или плюсом).

   Высказывание

А v В

ложно тогда и только тогда,

когда оба высказывания А и В ложны.

4. Операция, выражаемая связками

“если ..., то”, “из ... следует”, “... влечет ...”, называется импликацией

   и обозначается знаком ->

 .

Высказывание

А -> В

ложно тогда и только тогда,

когда А истинно, а В — ложно.

4. Операция, выражаемая связками

“тогда и только тогда”, “... равносильно ...”,

   "необходимо и достаточно”,

   называется эквивалентностью

   или двойной импликацией

и обозначается знаком  или ~ . Высказывание А  Вистинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают. 

   Импликацию можно выразить

   через дизъюнкцию и отрицание:

   Эквивалентность можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:

   Таким образом, операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания.

Порядок выполнения задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что:

 cначала выполняется операция   

    отрицания (“не”),

• затем конъюнкция (“и”),

• после конъюнкции — дизъюнкция(“или”)

• в последнюю очередь — импликация.

1. Всякая логическая переменная и символы “истина” (“1”) и “ложь” (“0”) — формулы.

2. Если А и В — формулы, то , (А & В),

(А v В), (А  B), (А <->  В) — формулы.

3. Никаких других формул в алгебре логики нет.

Алгебра логики
и двоичное кодирование

Математический аппарат алгебры логики очень удобен для описания того, как функционируют аппаратные средства компьютера, поскольку основной системой счисления в компьютере является двоичная, в которой используются цифры 1 и 0,

 а значений логических переменных тоже два: “1” и “0”.

1. Одни и те же устройства компьютера могут применяться для обработки и хранения как числовой информации, представленной в двоичной системе счисления, так и логических переменных.

2. На этапе конструирования аппаратных средств алгебра логики позволяет значительно упростить логические функции, описывающие функционирование схем компьютера, и, следовательно, уменьшить число элементарных логических элементов, из десятков тысяч которых состоят основные узлы компьютера.

Двоичное кодирование

Существуют различные физические способы кодирования двоичной информации, но чаще всего единица кодируется более высоким уровнем напряжения, чем ноль (или наоборот), например:

Логический элемент ПК

— это часть электронной логической схемы, которая реализует элементарную логическую функцию.

Логическими элементами компьютеров являются электронные схемы

    И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ

и другие (называемые также вентилями),

а также триггер.

С помощью этих схем можно реализовать любую логическую функцию описывающую работу устройств компьютера.

Обычно у вентилей бывает от двух до восьми входов и один или два выхода.

Чтобы представить два логических состояния — “1” и “0” в вентилях, соответствующие им входные и выходные сигналы имеют один из двух установленных уровней напряжения.

Например: +5 вольт и 0 вольт.

   Высокий уровень обычно соответствует значению “истина” (“1”),

   а низкий — значению “ложь” (“0”).

   Каждый логический элемент имеет свое условное обозначение, которое выражает его логическую функцию, но не указывает на то, какая именно электронная схема в нем реализована. Это упрощает запись и понимание сложных логических схем.

   Работу логических элементов описывают с помощью таблиц истинности. 

Таблица истинности

— это табличное представление логической схемы (операции), в котором перечислены все возможные сочетания значений истинности входных сигналов (операндов) вместе со значением истинности выходного сигнала (результата операции) для каждого из этих сочетаний.

Схема И реализует конъюнкцию двух или более логических значений.

Единица на выходе схемы И будет тогда и только тогда, когда на всех входах будут единицы. Когда хотя бы на одном входе будет ноль, на выходе также будет ноль.

Связь между выходом z этой схемы и входами x и y описывается соотношением:

z = x×y ("x и y").

Схема ИЛИ реализует дизъюнкцию двух или более логических значений.

Когда хотя бы на одном входе схемы ИЛИ будет единица, на её выходе также будет единица.

   Связь между выходом z этой схемы и входами x и y описывается соотношением:

z = x v y ("x или y").

Схема НЕ (инвертор) реализует операцию отрицания.

Схема И - НЕ

Схема ИЛИ – НЕ