Системы с основанием, целой степенью числа 2

•Двоичная (цифры 0, 1);

•Восьмеричная (цифры 0, 1, ..., 7);

•Шестнадцатеричная (для первых целых чисел используются 0, 1, ..., 9, а для следующих чисел — от десяти до пятнадцати – в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).

Примеры

Преимущества двоичной
системы счисления

•для реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями;

•представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

•возможно применение аппарата булевой алгебры для преобразования информации;

•двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостаток - быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

8-ая и 16-ая
системы счисления

   Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе

8 = 23

16 = 24

Перевод 8-ных и 16-ных чисел в двоичную систему

   Достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).

Перевод чисел из двоичной системы в 8-ную и 16-ную

Число нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

Порождение целых чисел

Продвижением цифры называют замену её следующей по величине.

Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0.

В двоичной системе, использующей только две цифры – 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 – замену её на 0.

Правило счета для порождения целых чисел

   Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.

Перевод целого числа из десятичной системы

   При переводе целого десятичного числа в систему с основанием q его необходимо последовательно делить на q до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный q–1. Число в системе с основанием q записывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего.

Перевод дробного числа из десятичной системы

Пpи переводе правильной десятичной дроби в систему счисления с основанием q необходимо сначала саму дробь, а затем дробные части всех последующих произведений последовательно умножать на q, отделяя после каждого умножения целую часть произведения. Число записывается как последовательность полученных целых частей произведения.

Перевод числа в десятичную систему

   При переводе числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную надо это число представить в виде суммы степеней основания его системы счисления.

Арифметические операции
в позиционных
системах счисления

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

Умножение в позиционных системах счисления

   Можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения. знаков (цифр).

Деление в позиционных системах счисления

   Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе.

   В 2-ной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

Представление целых чисел

Целые числа без знака

nзанимают в памяти один или два байта

nв однобайтовом формате принимают значения от 000000002 до 111111112

nв двубайтовом формате принимают значения

от 00000000 000000002 до 11111111 111111112.

Диапазоны значений
целых чисел без знака

Целые числа со знаком

nЗанимают в памяти один, два или четыре байта,

nСамый левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа.

nЗнак “плюс” кодируется нулем, а “минус” — единицей.

Диапазоны значений
целых чисел со знаком

Три формы кодирования целых чисел

n

nПрямой код

nОбратный код,

nДополнительный код

Положительные числа

   в прямом, обратном и дополнительном кодах изображаются одинаково — двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде.

Прямой код

   В знаковый разряд помещается цифра 1, а в разряды цифровой части числа — двоичный код его абсолютной величины.

Обратный код

   Получается инвертированием всех цифр двоичного кода абсолютной величины числа, исключая разряд знака: нули заменяются единицами, а единицы — нулями.

Дополнительный код

   Получается образованием обратного кода с последующим прибавлением единицы к его младшему разряду (перенос в знаковый разряд при этом теряется).        

Сложение обратных кодов

А и В положительные

   При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака. Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю.

Системы с основанием, целой степенью числа 2

•Двоичная (цифры 0, 1);

•Восьмеричная (цифры 0, 1, ..., 7);

•Шестнадцатеричная (для первых целых чисел используются 0, 1, ..., 9, а для следующих чисел — от десяти до пятнадцати – в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).

Преимущества двоичной
системы счисления

•для реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями;

•представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

•возможно применение аппарата булевой алгебры для преобразования информации;

•двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостаток - быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

8-ая и 16-ая
системы счисления

   Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе

Перевод 8-ных и 16-ных чисел в двоичную систему

   Достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).

Перевод чисел из двоичной системы в 8-ную и 16-ную

Порождение целых чисел

Продвижением цифры называют замену её следующей по величине.

Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0.

В двоичной системе, использующей только две цифры – 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 – замену её на 0.

Правило счета для порождения целых чисел

   Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.

Арифметические операции
в позиционных
системах счисления

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

Вычитание обратных кодов

Операция вычитания не используется.

Вместо нее производится сложение

уменьшаемого с обратным или дополнительным кодом вычитаемого.  

Сложение обратных кодов

А и В положительные

   При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака. Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю.

А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А

А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А 

А и В отрицательные