Для решения системы рассмотрим одношаговый стационарный метод

,                                  (1.24)

при n=0,1,2….

Предположим, что задан начальный вектор решения. Тогда метод (1.24) сходится, если норма вектора

Теорема. Условие сходимости итерационного метода.

Пусть А - симметричная положительно определенная матрица и выполнено условие D - 0.5tA > 0 (где t > 0). Тогда метод (1.24) сходится.

Следствие 1.Пусть А - симметричная и положительно определенная матрица с диагональным преобладанием, то есть:

,

при j=1,2,…,m. Тогда метод Якоби сходится.

Следствие 2. Пусть А - симметричная и положительно определенная матрица с диагональным преобладанием, тогда метод верхней релаксации сходится при (0< w<2).

Проверяется, при каком w - метод достигает заданной точности быстрее. В частности, при w=1 метод верхней релаксации превращается в метод Зейделя, следовательно, при w=1 метод Зейделя сходится.

Теорема. Итерационный метод (1.24) сходится при любом начальном векторе x⁰ тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы

 по модулю меньше единицы.

Плохо обусловленные системы линейных алгебраических уравнений

Дана система линейных алгебраических уравнений

Ах=В.                                                   (2.1)

Если система плохо обусловлена, то это значит, что погрешности коэффициентов матрицы А и правых частей B или же погрешности их округления сильно искажают решение системы. В качестве примера рассмотрим систему

Решение этой системы

x₁ » 1.981

x₂ » 0.4735.

Оценим влияние погрешности правых частей на результат. Рассмотрим “возмущенную” систему с правой частью b^* = (2.505 , 2.415) и решим эту систему:

x₁^* » 2.877

x₂^* » -0.4629.

Относительная погрешность правой части d (в) = 0.005/2.51 » 0.28% привела к относительной погрешности решения d (x^*) =0.9364/1.981 » 47.3%.

Погрешность возросла примерно в 237 раз. Число обусловленности системы (2.1) приблизительно равна 237.

Подобные системы называются плохо обусловленными.