Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Метод Якоби (простых итераций)
Исходную систему
Ах=В (1.11)
преобразуем к виду:
(1.12) где i=1,2,...,m; aii¹0.
Первая сумма равна нулю, если верхний предел суммирования меньше нижнего. Так (1.12) при i=1 имеет вид
По методу Якоби (метод простых итераций) (n+1 приближение хi) ищем по формуле
(1.13)
где n – номер итерации (0,1,…,); i= . Итерационный процесс (1.13) начинается с начальных значений , которые в общем случае задаются произвольно, но предпочтительнее, если за взять свободные члены исходной системы. Условие окончания счета: , где i= .
1.2.2 Метод Зейделя Система (1.11) преобразуется к виду (1.12) и организуем итерационную процедуру, где неизвестные хi на n+1 шаге определяются по формулам
(1.14) Например, (1.15)
(1.16) и так далее. Итерационные процессы (1.13) и (1.14) сходятся, если норма матрицы А (А - матрица коэффициентов при неизвестных в правой части систем (1.13) и (1.14)) удовлетворяет условию:
.
1.2.3 Матричная запись методов Якоби и Зейделя
Исходную матрицу системы (1.11) представим в виде суммы трёх матриц
A=A1+D+A2, где D - диагональная матрица; D =diаg[а11а22…аmm]; A1 - нижняя треугольная матрица; A2 - верхняя треугольная матрица.
Пример: Дана матрица размерности (3´3):
. А1 А2 D Тогда исходную систему (1.11) можно записать в виде
x=-D-1A1 x– D-1A2 x+D-1 b.
Тогда метод Якоби можно записать в виде:
или . (1.17)
В матричной форме метод Зейделя будет выглядеть:
или
. (1.18)
Преобразуем формулы (1.17) и (1.18):
, (1.19)
. (1.20)
Из (1.19) и (1.20) видно, что если итерационный метод сходится, то он сходится к точному решению. Иногда при решении задач большой размерности, в итерационные методы вводятся числовые параметры, которые могут зависеть от номера итерации.
Пример для метода Якоби.
, где t – числовой параметр. Возникают вопросы: 1) При каких значениях t сходимость будет наиболее быстрой? 2) При каких значениях t метод сходится? На примере двух методов просматривается вывод о том, что одни и те же методы можно записывать несколькими способами. Поэтому вводят каноническую (стандартную) форму записи:
. (1.21)
Формула (1.21) получена путем объединения (1.19) и (1.20). Матрица Dn+1 здесь задает тот или иной метод. Если существует обратная матрица к этой матрице, то из последней системы мы можем найти все неизвестные. 1. Метод (1.21) – явный, если матрица Dn совпадает с единичной матрицей и неявный - в противном случае. 2. Метод (1.21) – стационарный, если матрица Dn+1 = D, и параметр t не зависит от номера итерации и нестационарный - в противном случае.
1.2.4 Метод Ричардсона Явный метод с переменным параметром t:
, (1.21а) называется методом Ричардсона.
1.2.5 Метод верхней релаксации (обобщённый метод Зейделя)
, (1.21б)
где w - числовой параметр.
Если матрица А - симметричная и положительно определена, то последний метод сходится при (0 < w < 2). Последнюю формулу запишем в следующем виде:
, (1.22)
где Е - единичная матрица.
Тогда для вычисления неизвестных хi (i= ) можно записать итерационную процедуру в виде:
. (1.23)
Например, для х1 это будет такое выражение:
. 1.2.6 Сходимость итерационных методов
Рассмотрим систему
Ax=B,
где А - невырожденная действительная матрица. |
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 221. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |