Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Итерационные методы решений систем алгебраических уравненийСтр 1 из 3Следующая ⇒
Точные методы
В методах Гаусса решение х находится за конечное число действий, но из-за погрешности округления и их накопления прямые методы можно назвать точными, только отвлекаясь от погрешностей округления. Метод Гаусса Прямой ход метода 1-й шаг. Предположим, что а11¹0. Поделим первое уравнение на этот элемент:
. (1.3) Остальные уравнений системы (1.1) запишем в виде
, (1.4)
где i= . Уравнение (1.3) умножаем на ai1 и вычитаем из i-го уравнения системы (1.4). Получим систему вида:
. (1.5)
.
Система (1.5) имеет матрицу вида:
.
Работаем с укороченной системой, т.к. х1 входит только в 1-ое уравнение
. 2-й шаг. Если , то из укороченной системы аналогично исключаем неизвестное x2 и получаем матрицу коэффициентов такого вида:
.
Аналогично повторяем указанные действия для неизвестных х3,х4,..., хm-1 и приходим к системе с матрицей вида:
. (1.6)
Эта матрица является верхней треугольной:
.
Обратный ход метода. Из последнего уравнения системы (1.6) находим хm, из предпоследнего хm-1, ..., из первого уравнения – х1. Общая формула:
xm=ym/cmm, , (i=m-1,…,1).
Для реализации метода Гаусса требуется примерно (2/3)m3 арифметических операций, причем большинство из них приходится на прямой ход. Ограничение метода единственного деления заключается в том, что угловые элементы не равны нулю, т.е. . Ведущие элементы – – элементы на k-ом шаге исключения. Но если ведущий элемент близок к нулю, то в процессе вычисления может накапливаться погрешность. В этом случае на каждом шаге исключают не хk, a хj (при j¹k). Такой подход называется методом выбора главного элемента. Для этого выбирают неизвестные xj с наибольшим по абсолютной величине коэффициентом либо в строке, либо в столбце, либо во всей матрице. Для его реализации требуется - арифметических действий.
1.1.2 Связь метода Гаусса с разложением матрицы на множители. Теорема об LU разложении.
Пусть дана система Aх=B (1.1), которая при прямом ходе преобразуется в эквивалентную систему (1.6) и которую запишем в виде Cх=y, (1.7) где С – верхняя треугольная матрица с единицами на главной диагонали.
Как связаны в системе (1.1) элементы В и элементы y из (1.7)? Если внимательно посмотреть на прямой ход метода Гаусса, то можно увидеть, что
.
Для произвольного j имеем
, (1.7)
где j= , dji – числовые коэффициенты:
. (1.8)
Это можно записать в виде:
В=Dy, где D-нижняя треугольная матрица с элементами на главной диагонали (j= , ).
В связи с тем, что в методе Гаусса угловые коэффициенты не равны нулю , то на главной диагонали матрицы D стоят не нулевые элементы. Следовательно, эта матрица имеет обратную, тогда y=D-1В, Сx= D-1В. Тогда D´Cx=B. (1.9)
В результате использования метода Гаусса, получили разложение матрицы А на произведение двух матриц A = D´C, где D - нижняя треугольная матрица, у которой элементы на главной диагонали не равны нулю, а C - верхняя треугольная матрица с единичной диагональю. Таким образом, если задана матрица A и вектор B, то в методе Гаусса сначала производится разложение этой матрицы А на произведение D и C, а затем последовательно решаются две системы:
Dy=B, Cx=y. (1.10)
Из последней системы находят искомый вектор x. При этом разложение матрицы А на произведение СD – есть прямой ход метода Гаусса, а решение систем (1.10) обратный ход. Обозначим нижнюю треугольную матрицу через L, верхнюю треугольную матрицу - U.
Теорема об LU разложении
Введем обозначения: - угловой минор порядка j матрицы А, т.е.
Теорема.Пусть все угловые миноры матрицы А не равны нулю (Δj¹0 для j= ). Тогда матрицу А можно представить единственным образом в виде произведения А=L*U.
Идея доказательства.Рассмотрим матрицу А второго порядка и будем искать разложение этой матрицы в виде L и U.
.
Сопоставляя эти два равенства, определяем элементы матриц L и U (перемножим и приравняем неизвестные). Система имеет единственное решение. Методом математической индукции сказанное можно обобщить для матрицы размерности m´m. Следствие. Метод Гаусса (схема единственного деления) можно применять только в том случае, когда угловые миноры матрицы А не равны нулю.
1.1.3 Метод Гаусса с выбором главного элемента
Может оказаться так, что система (1.1) имеет единственное решение, хотя какой либо из миноров матрицы А равен нулю. Заранее неизвестно, что все угловые миноры матрицы А не равны нулю. Избежать этого можно с выбором главного элемента. 1. Выбор главного элемента по строке, т.е. производится перенумерация неизвестных системы.
ПРИМЕР. Пусть дана система второго порядка
при ½а12½>½ а11½, тогда на первом шаге вместо неизвестного х1 исключают х2:
.
К этой системе применяем первый шаг прямого хода метода Гаусса. 2. Выбор главного элемента по столбцу. Предположим, что ½а21½>½ а11½и переставим уравнения
и применяем первый шаг прямого хода метода Гаусса. Здесь имеет место перенумерация строк. 3. Поиск главного элемента по всей матрице заключается в совместном применении методов 1 и 2. Всё это приводит к уменьшению вычислительной погрешности.
1.1.4 Метод Холецкого (метод квадратных корней)
Пусть дана система
Ах=В , (1.11)
где матрица А - симметричная матрица. Тогда решение системы (1.11) проводится в два этапа: 1. Симметричная матрица А представляется как произведение двух матриц
А = L * LТ.
Рассмотрим метод квадратных корней на примере системы 4-го порядка:
.
Перемножаем матрицы в левой части разложения и сравниваем с элементами в левой части:
, , , , ,
, , .
2. Решаем последовательно две системы
Ly=B, LTx=у.
Особенности. 1) Под квадратным корнем может получиться отрицательное число, следовательно в программе необходимо предусмотреть использование правил действия с комплексными числами. 2) Возможно переполнение - если угловые элементы близки к нулю.
Итерационные методы решений систем алгебраических уравнений
Итерационные методы обычно применяются для решения систем большой размерности и они требуют приведения исходной системы к специальному виду. Суть итерационных методов заключается в том, что решение х системы (1.1) находится как предел последовательности . Так как за конечное число итераций предел не может быть достигнут, то задаётся малое число e - точность, и последовательные приближения вычисляют до тех пор, пока не будет выполнено неравенство
,
где n=n(e) – функция e, - норма вектора.
Прямые методы рассчитаны для решения систем, если её порядок не больше 100, иначе используются итерационные методы.
|
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 201. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |