Количество строк и столбцов соответствует порядку характеристического уравнения

Чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и все n главных диагональных миноров матрицы Гурвица были положительны. Число определителей Гурвица равно порядку характеристического уравнения п.

Критерий Гурвица применяют при n ≤ 5. При больших порядках возрастает число определителей, и процесс становится трудоемким. Недостаток критерия Гурвица - малая наглядность. Достоинство - удобен для реализации на ЭВМ.

Автоматическая система, описываемая характеристическим уравнением

,

устойчива, если при a₀>0 положительны все определители ∆₁, ∆₂, . . .∆_п вида

Если хотя бы один из определителей, называемых определителями Гурвица, отрицателен, то система неустойчива. Если главный определитель ∆_п=0, а все остальные определители положительны, то система находится на границе устойчивости.

Рассмотрим частные случаи критерия Гурвица для n=1;2;3;4. Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия, можно получить следующие условия.

1. Для уравнения первого порядка (n=1)

условие устойчивости: а₀>0 и ∆₁=а₁>0, т.е. для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля. 

2. Для уравнения второго порядка (n=2)

условие устойчивости:

Т.о., и для системы второго порядка необходимое условие устойчивости (положительность коэффициентов) является одновременно и достаточным.

3. Для уравнения третьего порядка (n=3) 

условие устойчивости:

При n=3 для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля и произведение средних коэффициентов уравнения (а₁, а₂) было больше произведения крайних (а₀, а₃).

4. Для уравнения четвертого порядка (n=4)

кроме положительности всех коэффициентов требуется выполнение условия

.

При n=4 система будет устойчива при всех коэффициентах больших нуля и при

.

Т.о., для устойчивости систем не выше четвертого порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и определитель

∆_п-1 были положительными.

Критерий Гурвица удобно использовать при n<5. При n>5 критерий Гурвица становится громоздким и применяют критерий Рауса.

Тема № 11

Определение степени устойчивости систем по заданной ПФ

Пример. Передаточная функция разомкнутой системы задана в виде:

W(s) = k/s(T1s +1)(T2s +1)

Исследовать устойчивость системы.

Р е ш е н и е . Характеристическое уравнение замкнутой системы

D(p)=0, где D(p) =1+W(s) s = p .

Откуда следует

p(T1p+1)(T2p+1)+ k = 0

Раскрыв скобки, получим

T1T2p3 + (T1 + T2)p2 + p + k = 0.

Тогда имеем: a0 = T1 T2 ; a1 = (T1 + T2); a2 = 1; a3 = k.

Коэффициенты характеристического уравнения положительны.

Составляем матрицу Гурвица

и найдем определители этой матрицы.

Для устойчивости системы все они

должны быть положительными:

Δ1 = a1, откуда (T1 + T2) > 0;

Δ2 = a1×a2 − a0 ×a3, откуда (T1 + T2) − kT1T2 > 0; !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Δ3 = a1×a2×a3 − a0×a32 = a3( a1×a2 − a0×a3 ), откуда a3 >0 , то есть k > 0

Условие устойчивости по критерию Гурвица получает вид:

(T1 + T2) > kT1*T2 или

Границы устойчивости:

1) an = 0, k = 0;

2) Δn-1 = 0,  ;

3) a0 = 0, T1*T2 = 0.

Тема № 12

Определение запаса устойчивости систем по ЛАФЧХ

При частотных критериях устойчивости различают два критерия: по амплитуде и по фазе. Запас устойчивости по амплитуде определяется наиближайшей точкой по отношению к критической. В численном значении - это длина отрезка [0;B], где В – точка пересечения годографа системы и отрицательной оси.

Нормированная величина запаса устойчивости:

 - запас устойчивости по модулю.

Если , то система находится на границе устойчивости;

Если , то система устойчивая;

Если  - система неустойчива.

На практике считается допустимым запас по амплитуде в логарифмическом масштабе - , что составляет .

Чтобы определить, обладает ли САУ заданным запасом устойчивости по амплитуде, проводится следующие исследования:

1. Строится годограф амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы.

2. Определяется ближайшая точка пересечения данного годографа с действительной осью по отношению к точке [-1,0].

3. Определяется запас устойчивости по формуле: , где h – это отрезок [0;B].

4. Если полученный запас устойчивости больше заданного, то САУ отвечает заданному запасу устойчивости, в противном случае САУ не обладает заданным запасом.

Запасом устойчивости по фазе называется минимальный угол, образуемый отрицательной действительной осью и прямой, соединяющий начало координат и точку пересечения годографа амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы и окружности с единичным радиусом с центром в начале координат.

На практике допустимым запасом устойчивости считается угол: .

Если , то система не обладает запасом устойчивости;

Если , то система обладает запасом устойчивости

запасы устойчивости системы, которые характеризуют

близость амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы к точке с

координатами (-1, j0).

Запасы устойчивости определяют на двух частотах: частоте среза ωс и

критической частоте ωкр. На частоте среза АЧХ разомкнутой системы равна единице,

на критической частоте ФЧХ принимает значение, равное -π.

Различают запас устойчивости по амплитуде (модулю) и запас устойчивости по

фазе.

Запас устойчивости по амплитуде задается некоторой величиной h (рис.5.12,а), на

которую должен отличаться модуль АФЧХ разомкнутой системы от единицы на

частоте, при которой фаза равняется -1800, т.е.

( ) = -1800

h = 1-A( )

ψ ω

ω . (5.14

а)                                          б)

Рис. 5.12. АФЧХ разомкнутой системы

Запас устойчивости по фазе задается некоторым углом μ (рис.5.12,б), на который

должна отличаться фаза АФЧХ разомкнутой системы от -1800 на частоте, при

которой модуль равняется единице, т.е.

μ = -180 -ψ (ω ) A(ω ) =1

0 . (5.15)

В хорошо демпфированных системах запас устойчивости по амплитуде

составляет примерно 6÷20 дб, что составляет 2÷10 в линейном масштабе, а запас по

фазе − 30÷600.

Оценка устойчивости по ЛЧХ

Построение амплитудно-фазовых частотных характеристик разомкнутых систем

связано с громоздкими вычислениями, поэтому целесообразно оценивать их

устойчивость по логарифмическим частотным характеристикам. Для этого

необходимо построить ЛЧХ разомкнутой системы (рис.5.14). На рис.5.14 условно

показано четыре варианта возможного прохождения ЛФХ.

В том случае, когда АФЧХ не имеет точек пересечения с вещественной осью

слева от точки с координатами (-1, j0), то для устойчивости замкнутой системы

необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие ωс< ωкр. То есть замкнутая

система будет абсолютно устойчивой, если ЛАХ разомкнутой системы принимает

отрицательные значения раньше, чем ЛФХ достигнет значения фазы -1800 (кривая 4

на рис.5.14).

Если ЛАХ разомкнутой системы принимает отрицательные значения позже, чем

ЛФХ достигнет значения фазы -1800 (кривая 1 на рис.5.14), то замкнутая система

неустойчивая.

Если ЛАХ разомкнутой системы принимает значение амплитуды 0 дб на одной

частоте, что и ЛФХ достигнет значения фазы -1800 (кривая 2 на рис.5.14), то это

соответствует колебательной границе устойчивости.

В условно устойчивых системах (кривая 3 на рис.5.14) для оценки устойчивости

следует в диапазоне частот, где ЛАХ больше нуля, подсчитать число переходов ЛФХ

через прямую -1800. Если число положительных (сверху вниз) переходов через эту

прямую равняется числу отрицательных (снизу вверх), то система в замкнутом

состоянии устойчива.

Рис. 5.14. ЛЧХ разомкнутой системы:

1 - система неустойчива;

2 - система нейтральная;

3 - система условно устойчивая;

4 - система абсолютно устойчивая

По ЛЧХ разомкнутой системы можно определить запасы устойчивости: запас по

фазе μ отсчитывается по ЛФХ на частоте среза ωс, а запас по амплитуде Lh

соответствует значению ЛАХ на критической частоте ωкр, взятому с обратным

знаком (кривая 4 на рис.5.14).

Если ωс=ωкр, то система находится на границе устойчивости.

Граничное значение общего коэффициента передачи разомкнутой системы kгр

определяется из выражения

20 lg kгр = 20 lg k + Lh,

где k - общий коэффициент передачи разомкнутой системы.

В заключение дадим некоторые рекомендации, которые следуют из практики

проектирования систем. Во-первых, для того чтобы в системе были обеспечены

необходимые запасы устойчивости, наклон ЛАХ в диапазоне частот, в котором

расположена частота среза, должен быть равным -20дб/дек. При наклоне

характеристики, равном -40дб/дек, трудно обеспечить необходимый запас

устойчивости по фазе. При наклоне характеристики, равном 0 дб/дек, получают

излишне большие запасы устойчивости по фазе, система становится

передемпфированной с длительным переходным процессом. Во-вторых, запас

устойчивости по фазе в системе зависит от диапазона частот, в котором ЛАХ

разомкнутой системы на частоте среза имеет наклон -20дб/дек. Чем больше этот

диапазон частот, тем выше запас устойчивости по фазе и наоборот.