Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Основные задачи динамики материальной точки.

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

       Цель работы: знакомство с двумя основными задачами динамики материальной точки.

 

       Задача Д1:вычислить и построить траекторию движения материальной точки массой 1 кг под действием силы , проекции которых на оси  и  и начальные условия представлены в табл. Д1.1 и Д1.2.

 

       Указания:задача Д1 на интегрирование дифференциальных уравнений движения точки. Решение задачи имеет следующие этапы: составление дифференциальных уравнений, вычисление общего интеграла, нахождение закона движения материальной точки с использованием начальных условий, определение траектории точки, построение траектории точки на чертеже.

 

       Пример Д1:вычислить и построить траекторию движения материальной точки массой 1 кг под действием силы F, проекции которой на оси  и  соответственно равны: 0 и (H), используя начальные условия: М0 (1;4), V0= .

 

Таблица Д1.1

(предпоследняя цифра зачетной книжки)

 

Таблица Д1.2

(последняя цифра зачетной книжки)
№ пп Проекция силы на , № пп Проекция силы на ,
0 0 0 3 0 1 2
1 0 0 2 1 0 4
2 0 -2 1 2 1 0
3 0 2 1 3 1 0
4 0 1 2 4 2 2 3
5 0 -1 1 5 2 6 4
6 0 2 3 6 1 1
7 0 1 -2 7 2 0
8 0 2 -4 8 0 6
9 0 5 -1 9 2 3 2

 

Решение:

1. По второму закону Ньютона проекция силы на  равна произведению массы материальной точки на вторую производную от  по времени ; т. к. =1кг, имеем . Интегрируя это дифференциальное уравнение, получим , где  и  - постоянные интегрирования. Подставив начальные условия ( ) в данные уравнения, найдем  и  закон изменения абсциссы материальной точки:

.

2. По второму закону Ньютона проекция силы на  равна т. е. .

Интегрируя это дифференциальное уравнение, получим:

, где  и  - постоянные интегрирования. Подставив начальные условия ( ) в данные уравнения, найдем  и  закон изменения ординаты материальной точки:

.

3. Таком образом, уравнение движения материальной точки .

Для получения траектории следует из данных уравнений исключить параметр t:

.

4. Построим данную кривую:

   Y

 

                                  

 

            M0

 

  0

                                                       X

Ответ: .

 

 

Лабораторная работа №4.

Колебательное движение материальной точки.

Цель работы:приобретение теоретических знаний о колебательном движении материальной точки над действием силы, пропорциональной расстоянию.

 

Задача Д2:груз массой m присоединили к концу недеформированной пружины и отпустили без начальной скорости, в результате чего он стал совершать колебательные движения. При статическом равновесии длина пружины изменилась на . Определить, используя данные в таблице Д2 и на рис. Д2.0-Д2.9:

1. Уравнение движения груза

2. Амплитуду и период колебания

Трением и массой пружины пренебречь.

 

Таблица Д2.

Последняя цифра зачетной книжки

№ пп 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
m, кг 2 3 1 4 2 3 5 1 3 2
, см 10 20 15 30 10 15 10 20 30 25

 

       Указания:задача Д2 относится к колебанию материальной точки. Для его решения необходимо: составить дифференциальное уравнение 2-го порядка, проинтегрировать данное уравнение, учтя начальные условия.

 

 

Предпоследняя цифра зачетной книжки

    Рис. Д2.0                45°                   Рис. Д2.1
               60°                      Рис. Д2.2                   45° Рис. Д2.3
      Рис.Д2.4                     45° Рис. Д2.5
               30° Рис. Д2.6     Рис. Д2.7
                    45° Рис. Д2.8                        30° Рис. Д2.9

Пример Д2:груз массой 1 кг присоединили к концу недеформированной пружины и отпустили без начальной скорости, в результате чего он стал совершать колебательные движения. При статическом равновесии пружина удлинилась на 10 см. определить:

1. Уравнение движения груза;

2. Амплитуду и период колебания;

Трением и массой пружины пренебречь.

       Решение:

Отметим на рисунке Д2 положения: недеформированной пружины (1), груза, в котором он остановится при статическом равновесии (2),груза в произвольный момент времени. Направим ось   по наклонной плоскости. За начало отсчета т.О примем положение груза при статическом равновесии.


                                                  Y

 

 

                                              s w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

                                   

                            

                     0 

 

                                          

                                   

                                                                           X

 

 

       На груз действуют силы: s w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">  – сила тяжести, s w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">  – нормальная реакция опоры,  – сила упругости пружины. Дифференциальное уравнение движения груза имеет вид , где , C – коэффициент жесткости пружины,  – удлинение пружины. Таким образом, уравнение движения примет вид

       ;

       .

В этом уравнении нам известен параметр С. Чтобы его найти, рассмотрим груз в положении статического равновесия ( ): 

       , откуда

       .

Подставляя значения С, m, P в наше дифференциальное уравнение движения груза, получим: . Это линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Решается с помощью соответствующего характеристического уравнения: .

Общее решение данного уравнения имеет вид

,

Где С1 и С2 постоянные интегрирования. Для вычисления С1 и С2 найдем  и используем начальные условия

,

.

Таким образом, уравнение движения груза имеет вид

Амплитуда колебания

 

 

Период колебания T найдем по формуле  – период косинуса:

       Ответ: ; ; .

 

 

Лабораторная работа№5.


Силы трения скольжения.

       Цель работы:учет влияния сил трения скольжения на работу простейших механизмов.

 

       Задача Д3:три груза m1, m3, m5 связаны нитью, которая без проскальзывания идет через подвижные блоки массой m2 и m4. Определить ускорение грузов, считая нить нерастяжимой и невесомой, блоки – однородными дисками. Коэффициент трения грузов о поверхность равен .

 

       Указания: задача Д3 – на применение 2-го закона Ньютона для поступательного и вращательного движения.

 

       Пример Д3:три груза m1=5 кг, m3=10 кг, m5=10 кг связаны нитью, которая без проскальзывания идет через подвижные блоки m2=2 кг, m4=2 кг. Определить ускорение грузов, считая движение равнопеременным, нить нерастяжимой и невесомой, блоки – однородными дисками. Коэффициент трения грузов о поверхность равен 0.20.

 

 

Предпоследняя цифра зачетной книжки

 
    m2        m3

 

          90°              m4

 m1                             90°

 

     60°                 m5       

Рис. Д3.0

 
     m2 m3         m4

 

              

m1                                   m5

            60°                 60°

 

рис. Д3.1 

 
      m2

 

m1                m3

       60° 60°

                         m4    

                        m5

рис. Д3.2                         

 
           m4

 

   m3                   m5

            45° 45°

m2         

 

m1                                 рис. Д2.3
   m1               m2                                         m3                             45°   m4                                         Рис. Д3.4         m5           

 
          m4

 

   m3                   m5

 

   m2   150° 30°      

 

m1                                 Рис. Д3.5

 
                 m3

m2                         m4

m1                                     m5  

 

     30°                       30°

 

Рис. Д2.6

 
             m2

    m1                    m3

 

            30°    30°      m4

 

 

                       Рис. Д3.7           m5

 
              m3    m4

   m2

                     90°

m1                                  m5

 

   45°                60°

Рис. Д3.8

 
       m2 m3           m4      

 

 

m1                                      m5

                         

   45°      135°

Рис. Д3.9

Таблица Д3.

Последняя цифра зачетной книжки

№пп m1,кг m2,кг m3,кг m4,кг m5,кг
0 5 1 8 2 26 0,1
1 7 2 4 1 22 0,2
2 4 3 12 2 30 0,15
3 6 1 8 3 24 0,3
4 8 2 12 2 18 0,25
5 10 2 10 4 40 0,1
6 6 4 12 2 36 0,15
7 10 2 14 2 28 0,25
8 12 2 20 4 42 0,2
9 10 2 16 2 36 0,3

 

 
                                           m2                  

                                                  m3

                      m1                             

                     

                         45°                           30°           m4

 

                                                           

                                                             m5

 

                                                            

 

Рис. Д3.

 

 

       Решение: отметим на рис. Д3 положение грузов в произвольный момент времени. Предположим, что грузы будут перемещаться вправо. Обозначим все силы, действующие на грузы: сила тяжести, нормальная реакция опоры, сила натяжения нити и сила трения. Ускорение всех грузов обозначим через .

Рассмотрим движение каждого груза отдельно. На груз m1 действуют силы: . Для него справедлива следующая система:

Преобразуя которые, получим:

     (1)

Для груза m3 справедлива система уравнений:

Преобразуя которые, получим:

      (2)

Для груза m5 справедливо равенство:

       (3)

       Для блока 2 можно записать , где  – момент инерции блока 2,  - его угловое ускорение,  - момент сил, вращающих блок 2.

Отсюда      (4)

Аналогично рассуждая, для блока 4 получим:         (5)

Сложив уравнения 1, 2, 3, запишем:

 

.

       Используя уравнения 4, 5 сделаем следующие преобразования:

.

Откуда выразим ускорения грузов

.

       Ответ: .

 

Статика.

 

Лабораторная работа №6.




⇐ Предыдущая123Следующая ⇒






Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 347.

stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда...