Раздел 6. Метод гармонической линеаризации.

Введем следующие обозначения:

– коэффициент усиления линейно части системы.

Построим амплитудно-фазовую частотную характеристику линейной части системы  и годограф гармонически линеаризованного нелинейного звена . Согласно структурно-математической схеме частотная передаточная функция линейной части системы равна:

,

ее модуль

и фаза  

Её вещественная и мнимая части соответственно равны:

                                       (6.2)                                          

Задаваясь значениями от 0 до , по формулам (3.1) и (3.2) строим амплитудно-фазовую характеристику линейной части системы

Рис. 3. Частотные характеристики линейной части системы и нелинейного звена.

Гармонически линеаризованная передаточная функция нелинейного звена равна:

После подстановки численных значений параметров нелинейного звена получим:

                                                                  (6.3)   

Задаемся значениями от и строим годограф нелинейного звена  (см. рис. 3). Минимальное значение модуля функции :

достигается при 0,707. Годографы  и  не пересекаются. Это означает, что состояние равновесия системы устойчиво, автоколебания отсутствуют.

Раздел 7. Аналитический метод

Построим диаграмму качества переходного процесса по коэффициенту усиления разомкнутой системы  при отключенной местной ОС ( ).

Согласно структурно-математической схеме (см. рис. 3) передаточная функция гармонически линеализованной разомкнутой системы равна:

где

-коэффициент гармонической линеализации для релейной характеристики с зоной нечувствительности.

По передаточной функции (7.1) определяем характеристический полином замкнутой нелинейной системы

Для построения диаграммы качесвта в полиноме (7.2) произведём подстановку  Эту подстановку удобно выполнять путем разложения полинома D(p,a) в ряд по степеням :

где индекс  означает, что в выражения для производных необходимо подставить  вместо p.

Из (7.2) находим

Подставим выражения (7.4) и (7.3), и выделим в последнем вещественную и мнимую части и приравняем их к нулю. Получим

Из второго уравнения (7.5) находим . Подставим это значение в первое уравнение системы (7.5) и решим его относительно k:

В выражение (7.6) подставим численные значения параметров. Получим:

Задаемся различными значениями колебаний a и при выбранных постоянных значениях показателей затухания  строим кривые  (см. рис.5). Кривые  соответствуют расходящимся колебаниям, а кривые  - затухающим колебаниям. Область, лежащая правее штриховой прямой, проходящей через точку k₁, является областью существования автоколебаний. Область, расположенная левее этой прямой, является областью устойчивого равновесного состояния системы.

Рис.5. Диаграмма качества переходного процесса в САУ температуры

Как видно из графиков все кривые расположены левее прямой, проходящей через точку k=0,075. Следовательно, САУ температуры находится в устойчивом равновесном состоянии.

Раздел 8. Частотный метод

Коэффициент затухания  и частоту колебаний переходного процесса в САУ температуры будет отыскивать путем решения гармонически линеаризованного уравнения.

где  получается из передаточной функции линейной части системы  подстановкой  а гармонически линеаризованная передаточная функция нелинейного звена  – подстановкой  в выражение

в результате которой получаем:

Уравнение (4.1) будем решать графически. Для этого в передаточной функции линейной части системы:

произведем подстановку . Получим

Модуль этой функции

и фаза

Подставив в выражения (8.7) и (8.8) приведенные в исходных данных значения параметров и, задаваясь различными постоянными значениями показателя затухания , построим серию кривых  как функции от частоты колебаний при  (см. рис 6).

На этом же графике нанесем обратную амплитудно-фазовую характеристику нелинейного звена  при заданных параметрах b и с. Для нелинейной характеристики релейного типа с зоной нечувствительности имеем

Рис. 6. Частотные характеристики линейной части системы

Рис. 7. Частотные характеристики линейной части системы и нелинейного звена САУ температуры

Как видно из графиков, точка пересечения годографов линейной части системы и нелинейного звена отсутствует. Следовательно, САУ температуры находится в устойчивом равновесном состоянии.