Раздел 4. Частотный метод Попова при отключенной местной обратной связи

В режиме стабилизации температуры можно принять .

Коэффициент усиления линейной части системы равен

Коэффициент усиления нелинейного звена системы равен

Коэффициент усиления линейной части системы и нелинейного звена  условно отнесем к нелинейному звену.

Необходимо определить, при каких значениях kсистема будет абсолютно устойчива, если характеристика нелинейного звена расположена в секторе (0, k)

Частотная передаточная функция линейной части системы имеет вид:

                                                                                   (4.1)

Её вещественная и мнимая части соответственно равны:

                                                                     (4.2)

Введем некоторые функции  следующим образом:

                                                                                                  (4.3)

По данным выражениям построим характеристику  и через точку (-1/k, j0) проведем прямую Попова так, чтобы построенная характеристика целиком лежала справа от этой прямой.

Уравнение прямой Попова, коэффициенты которого получены путем подбора, приведено ниже:

w	U	V
0	-0,5	-1
0,01	-0,49999	-0,99998
0,1	-0,49875	-0,99751
0,2	-0,49505	-0,9901
0,3	-0,489	-0,978
0,4	-0,48077	-0,96154
0,5	-0,47059	-0,94118
0,6	-0,45872	-0,91743
0,7	-0,44543	-0,89087
0,8	-0,43103	-0,86207
0,9	-0,4158	-0,8316
1	-0,4	-0,8
10	-0,01923	-0,03846
19	-0,00548	-0,01096
28	-0,00254	-0,00508
37	-0,00146	-0,00291
82	-0,0003	-0,00059
91	-0,00024	-0,00048
100	-0,0002	-0,0004
127	-0,00012	-0,00025
136	-0,00011	-0,00022
172	-6,8E-05	-0,00014
181	-6,1E-05	-0,00012
199	-5E-05	-0,0001
208	-4,6E-05	-9,2E-05
217	-4,2E-05	-8,5E-05
235	-3,6E-05	-7,2E-05
262	-2,9E-05	-5,8E-05
289	-2,4E-05	-4,8E-05
298	-2,3E-05	-4,5E-05
307	-2,1E-05	-4,2E-05
1000	-2E-06	-4E-06
5000	-8E-08	-1,6E-07
9000	-2,5E-08	-4,9E-08
13000	-1,2E-08	-2,4E-08
17000	-6,9E-09	-1,4E-08
21000	-4,5E-09	-9,1E-09
25000	-3,2E-09	-6,4E-09
29000	-2,4E-09	-4,8E-09
33000	-1,8E-09	-3,7E-09
37000	-1,5E-09	-2,9E-09
41000	-1,2E-09	-2,4E-09
45000	-9,9E-10	-2E-09
49000	-8,3E-10	-1,7E-09
100000	-2E-10	-4E-10
100000000	-2E-16	-4E-16

Рис. 2. Характеристика V*(ω)=ƒ(U*(ω)) и прямая Попова

   Расчетное значение разомкнутой системы равно

Система абсолютна устойчива для всех нелинейных характеристик, лежащих в секторе 0<k<1,5 и, в частности, для характеристики релейного типа.

Раздел 5. Алгебраический метод

По структурно-математической схеме определяем дифференциальное уравнение линейной части системы при отключенной местной обратной связи и :

                                                                            (5.1)

Для линейного звена запишем гармонически линеаризованное выражение:

                                                                                   (5.2)

 где для нелинейности

                                                               (5.3)

Подставляя значение u из уравнения (5.2) в уравнение (5.1), получим линеаризованное уравнение замкнутой нелинейной системы

                                                                     (5.4)

где - коэффициент усиления линейной части системы.

Этому дифференциальному уравнению соответствует характеристическое уравнение

                                                                                       (5.5)

Условие существования в уравнении (5.4) периодического решения

                                                                                                 (5.6)

Будем отыскивать с помощью критерия Михайлова. Для этого в характеристический полином

                                                                                   (5.7)

Подставим , выделим вещественную и мнимую части и приравняем их нулю:

                                                                              (5.8)

Из второго уравнения системы (5.8) найдем искомую частоту периодического решения

Подставим это решение в первое уравнение (5.8) и найдем выражение, связывающее амплитуду периодического решения a=A с параметрами системы:

                                                                                    (5.9)

Отсюда получим:

Для исследования устойчивости найденного периодического решения воспользуемся приближенным аналитическим условием, согласно которому периодическое решение устойчиво, если выполняется неравенство:

                                                                   (5.10)

Из выражений (5.8) находим

Подставим выражения для частных производных в (5.10) и одновременно произведем замену

Получим условие устойчивости периодического решения в виде

                                                                                      (5.11)

В данном случае условие существования периодического решения имеет вид:

 Следовательно, автоколебания отсутствуют, состояние равновесия системы устойчиво.