Полный факторный эксперимент

После того как сформулирована цель исследования и выбраны факторы, приступают к выполнению плана эксперимента. При этом выбор схемы проведения эксперимента определяется в зависимости от цели исследования (составление математической модели или оптимизации процесса), числа влияющих факторов, необходимой точности определения оценок коэффициентов, стоимости опыта и априорных сведений о предполагаемом характере поверхности отклика. От выбора схемы планирования во многом зависит эффективность исследования. Но, к сожалении., этот процесс трудно поддается формализации и является пока еще своего рода искусством.

Выбор конкретной схемы планирования применительно к условиям данного производства во многом зависит от опыта исследователя. В настоящее время теория планирования эксперимента располагает богатым арсеналом стандартных схем исследования; для каждого конкретного случая может быть рекомендовано несколько экспериментальных планов.

В основе всех экспериментальных планов лежит идея факторного эксперимента, при реализации которого факторы одновременно изменяют свои значения на двух или более заданных уровнях. Полный факторный эксперимент (ПФЭ) содержит набор всех сложных комбинаций уровней исследуемых факторов. Допустим, что мы хотим исследовать влияния двух факторов: температура осадительной ванны (х₁) и концентрации прядильного раствора (х₂) на прочность волокна (у). Предварительно выбрана область экспериментирования с центром (нулевым уровнем) в ветке, которую условно обозначим через 0. Состояние объекта на уровне характеризуется значениями факторов в натуральном масштабе =20⁰ С и 30%, а также значением прочности волокна на нулевом уровне – параметр оптимизации у. Для каждого из факторов определена область изменения, заданная верхним и нижним уровнями. Допустим, что желательно изучить задание фактора  в пределах от 10⁰ до 30⁰ С, а фактора  - от 25 до 35%. Предположим, что в этих интервалах поверхность отклика является линейной; тогда для ее описания достаточно изменить факторы на двух уровнях.

Пусть значение фактора  на нижнем уровне будет равно 10⁰, а на верхнем – 30⁰ С. Для фактора  значениями на нижнем и верхнем уровнях будут 25 и 35%.

Очевидно, что полному перебору уровней двух факторов соответствуют четыри комбинации уровней, что называют полным факторным экспериментом для двух факторов на двух уровнях обозначим через ПФЭ 2². Приведем такой план:

№ опыта	, 0С	, %	у	№ опыта	, 0С	, %	у
1	10	25	у1	3	10	35	у3
2	30	25	У2	4	30	35	у4

Этот план можно представить четырьмя точками на плоскости О^’  (натуральные координаты).

Для облегчения последующих расчетов переходят от натурального масштаба независимых переменных к некоторому стандартному (кодовому) масштабу. Для этого центр координатной системы совмещают с центром эксперимента - нулевой точкой, куда параллельно переносят оси координат.

За единицу измерения факторов принимается интервал варьирования каждого i-того фактора – λ_i. Тогда значения факторов в новой системе координат О^’  (кодированные значения) определяются из соотношения:

                                            (1.36)

где,

 - значение i-того фактора в натуральном масштабе;

 - значение i-того фактора в натуральном масштабе на нулевом уровне;

 - принятый интервал варьирования факторов (шаг);

 - значение i-того фактора в преобразованной системе координат.

В соответствии с этим значением фактора x_i на нижнем уровне в кодовом масштабе определяется из соотношения:

Значение фактора на верхнем уровне:

Значение фактора х₁₀ на основном уровне:

Аналогичным образом определяется уровни фактора х₂ в кодовом масштабе.

Экспериментальный план ПФЭ 2², приведенный выше в натуральном масштабе, в кодированных переменных имеет вид:

Результаты подобного экспериментального плана позволяют оценить коэффициент линейного уравнения регрессии:

                                  (1.37)

Для определения этих коэффициентов можно составить четыре уравнения, которые получаются путем подставки в уравнение значений факторов в каждом уровне.

В результате получим систему уравнений для четырех опытов:

                                (1.38)

Так как имеется четыре уравнения для определения трех конкретных выражений, мы располагаем одной степенью свободы, которая может быть использована либо для проверки точности нашего уравнения. либо для оценки величины взаимодействия между факторами х₁ и х₂. Этот третий фактор незримо присутствует в матрице планирования. Мы всегда можем определить его уровни перемножив столбцы х₁ и х₂. В результате получается полная матрица плана с дополнительным столбцом, представляющим уровни фактора взаимодействия х₁,х₂.

Уровни факторов +1 и -1 обозначены просто через «+» и «-». как это принято в теории планирования эксперимента. При ведем матрицу планирования ПФЭ 2²:

В данной матрице так же присутствует столбец так называемый «фиктивной переменной» х₀, которая во всех опытах принимается значение +1. Она вводится для того, чтобы распространить общую формулу расчета коэффициентов на коэффициент b₀.

Однако при планировании эксперимента вспомогательные столбцы не приводятся и матрица плана записывается в сокращенном виде.

Решая систему (1.38) относительно коэффициентов b_i, находим их расчетные решения.

Так, коэффициент b₀ определяется при сложении правых и левых частей уравнений:

Коэффициент b₁ определяется путем умножения первого и третьего уравнений системы на -1 и последующего сложения левых и правых частей:

Аналогичным образом определяется оценка коэффициента b₂;

Легко заметить, что знаки перед у при расчете коэффициента определяются значением соответствующей переменной х_i в соответствующем опыте. Теперь можно записать общую формулу для расчета коэффициентов:

                                      (1.39)

Коэффициенты b₁ и b₂ определяются аналогично коэффициентам при линейных членах:

                                           (1.40)

В формулах (1.39) и (1.40)

и  – значение факторов x_i и x_j в u-том опыте;

=±1;

y_u – значение параметра оптимизации в соответствующем опыте;

N – число опытов в матрице планирования.

Вывод.

В последнее время огромное практическое значение приобрело планирование эксперимента для исследования и оптимизации сложных многофакторных систем, т.е. именно тогда, когда классические методы малоэффективны, а в некоторых случаях и вовсе непригодны.

Трудности в процессе производства химических волокон, обусловили необходимость разработки методического подхода к планированию эксперимента при исследовании таких объемов производства, как производство химических волокон. В данной контрольной работе сделана попытка изложении я подобного подхода.

Интенсификация технологических производств, повышение их экономической эффективности и улучшение качества производства связаны с созданием автоматизированных систем управления технологическими процессами и поиском оптимальных условий их протекания. Все эти вопросы решаются глубже и эффективнее при наличии математической модели процесса.

При использовании методов планирования эксперимента существенно изменяются приемы и методы работы экспериментатора: вместо традиционного перебора значений факторов применяется процедура одновременного, совместного изучения уровней факторов в эксперименте, что позволяет изучить взаимодействие в системе.

Применение методов планирования эксперимента позволяет получить математическую модель процесса, содержащую все существенные факторы, а также решать задачи при минимальном числе опытов и оценить полученные результаты с достаточной статистической надежностью. При этом решаются такие типичные вопросы, как выбор критерия оптимизации, влияющих факторов, экспериментального плана, а также обработка результатов, определение области оптимальных решений и т.д.

Теория планирования эксперимента обладает большим арсеналом методов для решения этих вопросов, методология их решения разработана. В настоящее время имеется ряд переводных и отечественных работ, содержащих достаточно полное изложение общих вопросов теории и методологтт планирования эксперимента. Наряду с этим разработаны руководства по применению теории планирования эксперимента, в которых особое внимание уделяется методам решения задач, возникающих в данной отрасли (производство нетканых и строительных материалов, биология и т.д.)

Построение математической модели процесса связано с решением классической задачи аппроксимации. При этом стараются получить приближенную модель, которая с достаточной точностью описывает изучаемое явление.

Понятна и общепризнанна ценность аналитических моделей, построенных на основе анализа физико-математических характеристик, точно описывающих процесс. Однако реальные процессы настолько сложны, что их точное описание едва ли может быть получено в реальные сроки. Кроме того, такие модели часто содержат громоздкие системы дифференциальных уравнений, применять которые крайне затруднительно, а иногда и невозможно.

Если по своим статистическим характеристикам выбранный план не будет достаточно хорошим, применение его все же лучше, чем традиционный подход к решению задач (имеется в виду экспериментальные методы проб и ошибок).

Успех применения методов планирования обеспечивается согласованностью действий экспериментатора и математика.

Список литературы.

1. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных решений - М.: «Наука» 1975

2. Гореев В.В. Математическое моделирование при расчетах и исследованиях строительных конструкций – М.: «Высшая школа» 2002.

3. Золотухин Н.Д. Испытание строительных конструкций – М.: «Высшая школа» 2003.

4. Планирование эксперимента и статистическая обработка результатов: методические указания. Землянский А.А., Мордовин Г.М. Балаково: БИТТиУ 2004.

5. Ровенькова Т.А. Планирование эксперимента в производстве химических волокон - М.: «Химия»1977.

6. Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента - М.: «Наука» 1971