Метод Гаусса с выбором главного

Иногда может оказаться, что система (4.1) имеет единственное решение, хотя какой-либо из главных миноров матрицы  равен нулю. Кроме того, заранее неизвестно, все ли главные миноры матрицы отличны от нуля. В этих случаях обычный метод Гаусса может оказаться непригодным так, как в процессе вычисления какой-то ведущий элемент  станет равным нулю. Кроме того, если на главной диагонали элемент  мал, то деление на этот элемент приводит к значительным ошибкам округления. Избежать указанных трудностей позволяет метод Гаусса с выбором главного элемента. В этом методе исключается не следующее по порядку неизвестное, а то неизвестное, коэффициент при котором является наибольшим по модулю. При применении такого варианта метода Гаусса не будет происходить деление на нуль. Различают три варианта метода Гаусса с выбором главного элемента:

       а) метод Гаусса с выбором главного элемента по строке: в системе на каждом шаге исключения проводится соответствующая перенумерация переменных;

       б) метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу: на каждом шаге исключения проводится перенумерация уравнений;

       в) метод Гаусса с выбором главного элемента во всей матрице системы: в этом случае проводится перенумерация и переменных и уравнений.

       С точки зрения программной реализации вариант б) является более привлекательным, так как он не требует перенумерации переменных, что приводит к потере однородности вычислительного процесса. Метод Гаусса с выбором главного элемента позволяет уменьшить погрешность округления, но при решении плохо обусловленных систем устойчивость этого метода может оказаться недостаточной.

10.Вычисление определителей и обращение матриц с по­мощью метода Гаусса.

Одновременно с решением системы линейных алгебраических уравнений

можно вычислить определитель матрицы А. Пусть в процессе исключения найдено распожение т.е. построены матрицы L и U . Тогда  и, таким образом, произведение диагональных елементов матрицы L (ведущих, главных елементов метода исключения) равно определителю матрицы РА. Поскольку матрицы РА и А отличаются только перестановкой строк, определитель матрицы РА может отличаться от определителей матрицы А только знаком.

А именно,