Линии при согласованной нагрузке

Задача8.11.Двухпроводная линия длиной 100 км нагружена на повторное сопротивление Z_С = 410е ^-j30° Ом.

Напряжение на входе линии – u₁(t) = 220 sin(314t + 120°) В, на выходе – u₂(t) = 188,7 sin(314t + 79,9°) В. Определить ток и напряжение, записать их мгновенные значения в точке А в 20 км от конца линии.

Решение

Повторным называют сопротивление нагрузки, равное волновому сопротивлению линии: Z_Н = Z_С. Уравнения линии в согласованном режиме:

U₁ = U₂∙е ^γl = U₂∙е ^αl∙е ^jβl;

I₁ = I₂∙е ^γl = I₂∙е ^αl∙е ^jβl.

Для расчёта тока и напряжения в точке А необходимо знать параметры линии: коэффициент затухания α и коэффициент фазы β. Находим их из первого уравнения линии:

е ^γl = U₁/U ₂ = 220е ^j120°/188,7е ^j79,9° = 1,166е ^{j40,1° = +j0,7 рад};

е ^αl = 1,166; αl = lп1,166 = 0,153; α = 0,00153 Нп/км; βl = 0,7 + 2pk рад.

β_op = = » 10 ^-3 рад/км;  β_opl » 0,1 рад;

таким образом, k = 0 и β = 0,007 рад/км.

Тогда напряжение в точке А: 

U_А = U₂∙е ^γl = 188,7е ^j79,9°·е ^0,00153∙20∙е ^j0,007∙20 =

= 194,6е ^j79,9°∙е ^{j0,14 рад = 8,02°} = 194,6е ^j87,92° В.

Соотношение Z_вх = Z_С справедливо для любого сечения линии, поэтому ток в точке А можно вычислить как

I_А = U_А/Z_С = 194,6е ^j87,92°/(410е ^-j30°) = 0,475е ^j117,92° А.

Мгновенные значения напряжения и тока:

u_А(t) = 194,6 sin(314t + 87,92°) В,    i_А (t) = 0,475 sin(314t + 117,92°) А.

Задача8.12. Линия длиной 25 км получает питание от источника ЭДС е₁ = 141,4sin5000t В с внутренним сопротивлением r_вн =100 Ом. Параметры линии: Z_С = 335,5 – j497,4 Ом, γ = (3,48 + j19,70)∙10 ^-3 1/км, Z_Н = Z_С. Определить токи, напряжения, мощности на входе и в конце линии, найти КПД линии.

Ответы: U₁ = 90,6 В,  I₁ = 0,151 А, Р₁ = 7,65 Вт;

U₂ = 83,04 В, I₂ = 0,138 А, Р₂ = 6,43 Вт; η = 0,84.

Задача8.13. Двухпроводная линия длиной 100 км нагружена на сопротивление Z_С = 1410е ^-j30° Ом. В 20 км от конца линии напряжение u_а(t) = = 141,4sin(314t + 60°) В. В точке “b”, находящейся в 40 км от её конца известен ток i(t) = 0,164sin(314t  + 120°) А.

Определить мгновенное и действующее значения напряжения на входе линии.

Ответ: u₁(t) = 715,6 sin(314t + 180°) В; U₁ = 715,6 В.

Задача8.14. Линия длиной   l = 20 км   и вторичными параметрами  Z_С = 1350е ^-j24° Ом и γ = 0,0175 + j0,039 1/км  нагружена на сопротивление, равное волновому. Определить мощность Р₂, передаваемую в нагрузку, и мощность Р₁, подводимую к линии, если напряжение U₁ = 10 В.

Ответы: Р₁ = 67,67 мВт, Р₂ = 33,6 мВт.

Задача 8.15. Воздушная линия связи имеет следующие параметры:

r₀ = 2,84 Ом/км, g₀ = 0,7 мкСм/км, L₀ = 1,94 мГн/км, C₀ = 6,25 нФ/км.

Определить: 1) при каком сопротивлении приёмника в линии отсутствует отражённая волна на средней расчётной частоте 800 Гц; 2) напряжение, ток, активную мощность источника и КПД линии длиной 59 км, если напряжение на нагрузке равно 20 В, а её сопротивление – как в п.1.

Решение

Вычислим вторичные параметры линии на частоте

ω = 2pf = 2p ·800 = 5027 рад/с:

Z_C = = = =

= 567×e ^–j7,46° Ом,

g = = =

= 17,9×10 ^–3×e ^j81,3° 1/км.

Отсюда коэффициент затухания – a = Re(g) = 2,71×10 ^–3 Нп/км.

Отражённая волна в линии отсутствует, если линия согласована с нагрузкой, то есть если её сопротивление Z_Н = Z_C = 567×e ^–j7,46° Ом.

Тогда напряжение, ток и мощность в конце линии:

u₂= 20 В, I₂= = = 0,0353×e ^j7,46° А,

Р₂= Re(u₂· )= 20·0,0353·cos (-7,46°) = 0,7 Вт.

При согласованной нагрузке КПД линии можно вычислить по формуле

η = e ^–2al = e ^{–2·2,71·0,059} = 0,73.

Мощность в начале линии Р₁= Р₂/η = 0,7/0,73 = 0,96 Вт.

Напряжение и ток в начале линии

u₁= u₂·e ^al = 20·e ^al = 20e ^2,71·0,059 = 23,4 В,

I₁= I₂·e ^al = 0,0353·e ^2,71·0,059 = 0,041 А.

Задача8.16. Генератор постоянного тока с напряжением 10 кВ питает последовательно соединённые воздушную линию и кабельную. Параметры воздушной ЛРП: l₁ = 20 км, r₀₁ = 4 Ом/км, g₀₁ = 1∙10 ^-6 См/км. Параметры кабеля: l₂ = 40 км, r₀₂ = 0,5 Ом/км, g₀₂ = 0,5∙10 ^-6 См/км. Кабель имеет согласованную нагрузку. Определить мощности генератора и приёмника, КПД воздушной линии, кабеля и всей линии.

Ответы: Р_ген= 94,3 кВт, Р_H = 82,2 кВт,

η₁ = 0,907; η₂ = 0,96;    η_общ= 0,872.

Задача8.17. По силовой ЛЭП длиной  50 км  передаются сигналы  автоматики и телемеханики. На частоте сигнала коэффициент затухания   α = 96 мНп/км,  а Z_С = 640е ^-j10° Ом.  На частоте сигнала приёмник согласован с линией. Уровень сигнала в начале линии (по мощности) равен 4,6 Нп. Определить напряжение сигнала на приёмном устройстве. 

Решение

Определение. Мощность сигнала в любой точке линии может быть задана в виде «уровня сигнала в неперах» по отношению к сигналу мощностью 1 мВт, уровень которого принят равным нулю.

1. По условию задачи уровень сигнала в начале линии α = 4,6 Нп. Так как

α = ½ lп = 4,6 Нп, где Р₀ = 1 мВт, то Р₁ = е ^2α = е ^2∙4,6 = 9897 мВт.

2. Общее затухание сигнала в линии αl = 96∙10 ^-3∙50 = 4,8 Нп.

Следовательно, уровень сигнала у приёмника  α_пр = 4,6 – 4,8 = -0,2 Нп, а его мощность Р₂ = е ^2∙(-0,2) = е ^-0,4 = 0,67 мВт.

3. Приёмник согласован с линией, т.е.

Z_Н = Z_С = 640е ^-j10° = 630,3 – j111,1 Ом = Z₁.

Напряжение сигнала на входе линии целесообразно рассчитать через проводимость по выражению Р = g∙U ²:

Y_н = 1/Z_Н = (1,539 + j0,271)∙10 ^-3 См,   g_H = Re(Y_н) = 1,539∙10 ^-3 См.

Тогда U₁ = = = 80,2 В,

U₂ = U₁∙е ^-аl =80,2∙е ^-4,8 = 0,66 В.

Задача 8.18. Мощность передающего устройства 1 мВт. На приёмник, согласованный с линией, имеющей α = 0,02 Нп/км, необходимо передать сигнал мощностью не менее 1 мкВт.

Определить допустимую дальность связи и соотношение напряжений U₁/U₂ сигнала на входе и на выходе линии.

Ответы: l = 173 км, U₁/U₂ = 31,62.

Линии без искажений

Задача8.19. Воздушная двухпроводная линия связи длиной 100 км имеет параметры:  r₀ = 2,8 Ом/км, g₀ = 0,7 мкСм/км, L₀ = 2 мГн/км и работает в согласованном режиме при частоте ω = 5000 рад/с. Какую дополнительную индуктивность L₀¢ необходимо включить на каждый километр длины линии, чтобы в ней не было искажений, а выходное напряжение отставало от входного на 100° по фазе?

Решение

По условию сдвиг фаз в линии составляет

βl = 100° + 360°·k = 1,745 + 2pk рад, то есть β = (1,745 + 2pk)·10 ^-2 рад/км.

Оценим значение β. Фазовая скорость в воздушной линии практически равна скорости света, поэтому β » = = 1,667·10 ^-2 рад/км.

Сопоставляя два полученных ответа, приходим к выводу, что k = 0.

Окончательно получаем β = 0,01745 рад/км.

Для неискажающей линии справедливы следующие соотношения

β = ω и =

или = и = .

Перемножая последние два равенства, находим

(L ₀ + L₀¢) = = = 0,00698 Гн/км.

И наконец, получаем:  L₀¢ = 6,98 – 2 = 4,98 мГн/км.

Задача 8.20. Кабельная линия связи имеет длину 150 км и волновое сопротивление  Z_C = 60 Ом. Эту линию сигналы проходят за 1 мс без искажений, затухая при этом на 11,3 дБ. Определить первичные параметры линии.

Решение

Затухание в линии составляет al = 11,3 дБ = 11,3·0,115 = 1,3 Нп.

Отсюда коэффициент затухания a = = = 8,66·10 ^-3 Нп/км.

В то же время, для линии без искажений справедливы соотношения:

= , Z_C = , a = , v = .

Причём для кабельной линии можно принять v = 150 000 км/с.

Из этих соотношений находим:

r₀ = a ·Z_C = 8,66·10 ^-3·60 = 0,52 Ом/км,

g₀ = = = 1,44·10 ^-4 См/км,

L₀ = = = 0,4·10 ^-3 Гн/км = 0,4 мГн/км,

C₀ = = = 0,111·10 ^-6 Ф/км = 0,111 мкФ/км.

Задача8.21. Первичные параметры двухпроводной медной 4-милли-

метровой телефонной линии (при f = 100 кГц): r₀ = 14 Ом/км,  L₀ = 2·10 ^-3 Гн/км,  g₀ = 5·10 ^-6 См/км,  C₀ = 6,36·10 ^-9 Ф/км. Вычислить индуктивность L₁, которую надо включить на каждый километр длины, чтобы линия стала неискажающей. Чему при этом будут равны вторичные параметры линии?

Ответы: L₁ = – L₀ = 15,8·10 ^-3 Гн/км,   Z_C = = 1673 Ом,

g = a + jb = + jw = 8,37·10 ^-3 + j6,685 1/км.

Задача8.22. К неискажающей линии, полученной в задаче 8.21, подведено напряжение  и₁ = (10sin(2p·10⁵t) + 5sin(4p·10⁵t)) B.  Определить мгновенное значение напряжения в конце линии длиной l = 100 км  при согласованной нагрузке и при холостом ходе. Указать, сохраняется ли неискажённость передачи.

Ответы: g(w) = 6,685·е ^{j 89,93º} 1/км; g(2w) = 13,37·е ^{j 89,96º} 1/км;

при  Z₂= Z_C:  U_2m = U_1m·e ^-gl; и₂ = (4,33sin(2p·10⁵t – 143,73º) + 2,17sin(4p·10⁵t + + 72,54º)) B,   неискажённость сохраняется, так как / = / =  = 0,433 и y⁽¹⁾·2 = y⁽²⁾  (-143,73·2º = -287,46º; -287,46º+360º = 72,54º);

при ХХ: U_2m = U_1m/ch(gl); и₂ = (8,09sin(2p·10⁵t – 153,35º) + 5,08sin(4p·10⁵t + + 65,31º)) B, неискажённость не сохраняется, так как / = 0,809 ¹ / / = 1,02 и y⁽¹⁾·2 ¹ y⁽²⁾  (-153,35·2º = -306,70º; -306,70º+360º = 53,3º ¹ 65,31º).

Линии без потерь

Задача8.23. Вольтметр, включенный в конце воздушной линии без потерь, показывает 100 В. Определить показание амперметра на расстоянии 2 м от конца линии, если частота генератора f = 3·10 ⁷ Гц, а волновое сопротивление линии Z_C = 1000 Ом.

Решение

В конце линии включен вольтметр, обладающий большим сопротивлением. Следовательно, линия работает в режиме холостого хода, и ток в конце линии i₂ = 0, поэтому одно из основных уравнений ЛБП (8.11) принимает вид:

i(y) = j sin(βy).

Фазовая скорость в воздушной линии практически равна скорости света с = 3·10⁸ м/с. Тогда коэффициент фазы линии:

β = = = = 0,2p рад/м.

Таким образом, показание амперметра

i_А = |i(y=2)| = sin(βy) = sin(0,2p ·2) = 0,0951 A.

Задача8.24. Генератор с длиной волны λ = 20 м включён на идеальную ЛБП длиной l = 5 м. В конце линии включён амперметр, который по-

казал ток 0,17 А, а в середине линии включён вольтметр, который показал 120 В. Определить волновое сопротивление линии. Принять r_v = ∞, r_А = 0. 

Решение

Уравнение линии без потерь в режиме короткого замыкания имеет вид:

U(у) = jZ_С∙I₂∙sin(βу).

Для середины линии  sin(βу) = sin( ∙ λ = 0,25π = 45°) = 0,7071.

Тогда сопротивление Z_С = 120/(0,17∙0,7071) = 998 Ом.

Задача8.25. Определить параметры воздушной линии без потерь длиной  30 м  с волновым сопротивлением  600 Ом,  работающей на частоте 15 МГц. При сопротивлении нагрузки  300 Ом и напряжении  U₂ = 120 В  рассчитать мощность, поступающую в линию, и её КПД.

Ответы: γ = jβ = j0,314 1/м, L₀ = 2 мкГн/м, С₀ = 5,55 пФ/м,

Р₁ = 48 Вт, η = 1.

Задача8.26. Определить ток генератора, питающего нагруженную линию без потерь при напряжении U_ген = 120 В и следующих параметрах линии: l = 100 м, λ = 60 м, L₀ = 5,3 мкГн/м,  r_н = 380 Ом.

Ответы: Z_С = 1590 Ом, β = 0,1047 рад/м, Z_ВХ = 255,6е ^j59,69° Ом,

I₁ = 0,047е ^-j59,69° А.

Задача8.27. В конце воздушной линии без потерь длиной l = 12 м включена индуктивность l = 17,3 мкГн. Определить, на каком расстоянии от конца линии находится ближайшая пучность напряжения и тока, если частота источника  ω = 10⁸ рад/с и параметры линии  L₀ = 10 мкГн/м, C₀ = 1,11 пФ/м.

Решение

Индуктивность l можно смоделировать отрезком короткозамкнутой ЛБП длиной l₁. Рассчитаем длину отрезка.

Сопротивление индуктивности в комплексной форме jωL, входное сопротивление короткозамкнутой ЛБП Z_К = jZ_C tg(βl₁), то есть ωL = Z_C tg(βl₁),

где вторичные параметры линии  Z_C = = = 3000 Ом,

β = ω = 10 ⁸ = 0,333 рад/м.

Получаем: l₁ = arctg = arctg =  м.

Длина волны λ = = = 6p м.

У короткозамкнутой ЛБП ближайшая пучность напряжения находится от конца линии на расстоянии, равном четверти длины волны: ¼λ = 1,5p м.

У данной линии с учётом отрезка l₁: 1,5p – l₁ = 1,5p – 0,5p =p = 3,14 м.

Пучность тока смещена по сравнению с пучностью напряжения на четверть длины волны. Поэтому координата пучности тока следующая:

p + 1,5p = 2,5p = 7,85 м.

Задача 8.28. Для согласования рабочей линии с нагрузкой на частоте 100 МГц необходимо индуктивное сопротивление 800 Ом, которое может быть смоделировано отрезком линии без потерь. Определить наименьшую длину отрезка короткозамкнутой линии без потерь, выполненной из медных проводов радиусом r = 2 мм с расстоянием между проводами d = 20 см. Рассчитать сопротивление отрезка при разомкнутом конце.

Указание. Первичные параметры ЛБП вычислить по формулам:

L₀ = ln = 4·10 ^-7·ln  Гн/м; С₀ = .

Ответ: у_min = 46,1 см, Z_ХХ = -j381,9 Ом.

Задача 8.29. Линия без потерь с параметрами:  l = 30 м, f = 15 МГц, Z_С = 600 Ом работает на нагрузку: U₂ = 120 В,  r_н = 300 Ом. Определить положение минимумов и максимумов напряжения вдоль линии.

Решение

Известно, что в режиме холостого хода или при коротком замыкании в линиях без потерь возникают стоячие волны. Поскольку при этом коэффициент отражения K = ±1, прямая и обратная волны одинаковы по величине, их наложение даёт нули и пучности напряжения, распределенные по линии при ХХ (КЗ) в соответствии с выражениями:

у_{узлов(пучностей)} = (2k + 1)∙λ/4;  у_{пучностей(узлов)} = kλ/2; k = 0, 1, 2, ...

При произвольной несогласованной нагрузке |K| < 1, прямая и обратная волны не равны между собой. В результате наложения этих волн в линии возникают минимумы и максимумы напряжения. Очевидно, что они будут в тех точках, где прямая и обратная волны либо совпадают по фазе (максимумы), либо отличаются на 180° (минимумы).

1. Определим коэффициент отражения K волны от нагрузки и оценим напряжения прямой и обратной волн  U_пр, U_обр.

K = =  = -0,333, то есть U_обр = -0,333U_пр.

В конце линии напряжение находится как 

U₂ = U_пр + U_обр = U_пр – 0,333·U_пр = 0,667·U_пр = 120 В.

Поскольку  K < 0,  то в конце линии имеет место минимум напряжения, то есть  U_min = 120 В,  причём:

U_пр = U_min/0,667 = 180 В, U_обр = -0,333U_пр = -60 В.

Максимальное же значение напряжения U_mах = 180 + 60 = 240 В.

2. Итак, первый минимум напряжения находится в конце линии. Далее минимумы напряжения следуют через  λ/2. Оценим длину волны:

λ = = = 300∙10³/(15∙10⁶) = 20 м.

Максимумы напряжения сдвинуты относительно минимумов на   λ/4 = = 5 м и далее по линии также идут через  λ/2.