Основные теоретические положения

Электрические цепи с распределёнными параметрами

Электрические цепи с распределёнными параметрами в установившемся РЕЖИМЕ

Основные теоретические положения

Устройства или электрические цепи, в которых токи i(x,t) и напряжения u(x,t) являются функциями не только времени t, но и зависят от координаты x, называют длинными линиями или линиями с распределёнными параметрами (ЛРП). Факторами, которые обусловливают распределённость параметров, являются значительная протяжённость устройства в пространстве, высокое напряжение, высокая частота. Примерами ЛРП являются: линии электропередач напряжением 110 кВ и выше, короткие линии связи у микрофона, кабель телеантенны, сами антенны радио и телепередатчиков, устройства задержки сигналов, гирлянды изоляторов.

Исходными характеристиками или первичными параметрами длинных линий являются:

- r₀, Ом/м – продольное сопротивление линии на единице длины;

- g₀, См/м – поперечная проводимость линии, причём g₀ ¹ r₀^-1;

- L₀, Гн/м и C₀, Ф/м, соответственно, – индуктивность и емкость линии на единице длины.

Если параметры r₀, g₀, L₀, C₀ одинаковы по всей длине линии, то линия называется однородной. В справочной литературе существуют формулы, по которым можно рассчитать первичные параметры линии по известным конструктивным параметрам.

Наиболее общие уравнения двухпроводной линии, которые справедливы для любого режима работы, имеют вид:

- = r₀·i + L₀ ,

- = g₀·i + C₀ .                                    (8.1)

Если же линия работает при синусоидальных токах и напряжениях, то уравнения упрощают, сводя их в комплексной форме к одному дифференциальному уравнению второго порядка с нулевой правой частью. Решение таких уравнений можно записать для действующих и мгновенных значений напряжения и тока в любой точке, отстоящей на расстоянии x от начала линии или на расстоянии у от её конца:

           (8.2)

u(x,t) = A₁e^ax·sin(wt + y_обр + bx) + A₂e^–ax·sin(wt + y_пр – bx);           (8.3)

i(x,t) = - e^ax·sin(wt + y_обр – j_C + bx) + e^–ax·sin(wt + y_пр – j_C – bx);

             (8.4)

Здесь: Z₀ = r₀ + jwL₀, Ом/км, Y₀ = g₀ + jwC₀, Cм/км;

Z_C = Z_C· = , Ом – характеристическое (волновое) сопротивление линии;

g = = a + jb , 1/км – коэффициент распространения волны в линии;

a, Нп/км – коэффициент затухания волны;

b, рад/км – коэффициент изменения фазы волны в линии;

A₁, A₂, y_пр, y_обр – постоянные интегрирования;

U₁, U₂, I₁, I₂ – напряжение и ток, соответственно, в начале и в конце линии.

Величины Z_С и g называют вторичными параметрами линии, их можно рассчитать через первичные параметры линии r₀, g₀, L₀, C₀, и наоборот.

Из уравнений (8.3) для мгновенных значений следует, что в любом сечении линии ток и напряжение есть наложение двух встречных затухающих синусоид-волн – прямой (падающей) и обратной (отражённой). Иными словами: в линии имеют место волновые процессы, причём:

u(x,t) = u_пр + u_обр; i(x,t) = i_пр – i_обр.                             (8.5)

Бегущую электромагнитную волну можно охарактеризовать напряжением, током, длиной волны l и фазовой скоростью её распространения v:

l = 2p /b = v /f,   v = w /b.                           (8.6)

Поскольку коэффициент фазы b выражается через w, Z₀, Y₀, то длина волны и скорость её распространения зависят от частоты и параметров самой линии.

Для воздушных линий характерно:

Z_С > 150 Ом,  v ≈ = c = 300×10³ км/с,

для кабельных линий обычно: Z_С < 120-150 Ом,  v ≈ ½c = 150×10³ км/с.

Входное сопротивление и параметры линии могут быть определены по её конструктивным параметрам (по справочным данным) или по результатам опытов холостого хода и короткого замыкания (Z_Н – сопротивление нагрузки, l – длина линии):

Z_ВХ = = Z_С· = Z_ХХ · ; Z_ХХ = ; Z_КЗ = Z_c×thg l.

Через сопротивления Z_ХХ и Z_КЗ вторичные, а затем и первичные параметры линии определяются по выражениям:

Z_С= ;          thg l = ; = е^2al·е ^j2bl;  (8.7)

g ×Z_C = = Z₀=R₀ + jωL₀;  g /Z_C = Y₀ = g₀ + jωC₀.   (8.8)

Отношение напряжения падающей волны в конце линии к напряжению отражённой волны в конце линии называется коэффициентом отражения волны:

K = = .                                 (8.9)

Соотношения для линий при согласованной нагрузке Z_н = Z_с:

Z_ВХ = Z_с;   η = е ^-2αl;            (8.10)

В технике связи, где возможны сигналы широкого диапазона частот, выделяют понятия линии без искажений сигналов (ЛБИ), в которой сигналы на всех частотах распространяются с одинаковой скоростью и затухают в равной степени, и линии без потерь (ЛБП), в которой wL₀ >> r₀, wC₀ >> g₀ и величинами r₀, g₀ можно пренебречь.

Соотношения для ЛБИ:

; a = ¹ f(w),   b = w ; v = ¹ f(w),

характеристическое сопротивление Z_c = резистивное.        (8.11)

Соотношения для ЛБП:  r₀ = 0, g₀ = 0;  a = 0 ¹ f(w),   b = w ;

v = ¹ f(w); ЛБП является частным случаем ЛБИ;

характеристическое сопротивление Z_c =  резистивное;

основные уравнения ЛБП:                  (8.12)

входное сопротивление ЛБП:

Z_вх =Z_c· , Z_хХ = -j ;  Z_КЗ = jZ_c·tgbl.    (8.13)

В курсе ТОЭ основы теории ЛРП рассматриваются применительно к однородным двухпроводным линиям, работающим при синусоидальных токах и напряжениях. Все расчетные соотношения могут быть распространены на симметричные трехфазные линии с учётом одной фазы, а также на линии постоянного тока. Линиям постоянного тока индуктивность L₀ и ёмкость C₀ также присущи, но не проявляют себя. Здесь учитываются лишь параметры r₀, g₀.

Линия с распределёнными параметрами является симметричным четырёхполюсником. Поэтому, сопоставляя уравнения ЛРП (8.4) при   у = l с уравнениями четырёхполюсника формы А (см. /1/, разд. 5)

U₁= А·U₂+ В·I₂;      I₁= C·U₂+ D·I₂,

получаем следующие соотношения:

А = D = сhg l,  В = Z_c×shg l, C = .                  (8.14)

ЛРП как четырёхполюсник может быть представлена Т- или П- эквивалентной схемой (рис. 8.1), сопротивления которых вычисляются по формулам:

Z_1T = Z_2T = = Z_С× ;   Z_0T = = ;

Z_1П = Z_2П = = Z_С× ;  Z_0П = В = Z_c×shg l.                     (8.15)