Расчёт параметров линии и её режимов работы

Задача8.1. Для определения параметров линии связи длиной 160 км на частоте 1000 Гц поставлены опыты холостого хода и короткого замыкания, в результате которых получено: Z_ХХ = 887·е ^-j35° Ом, Z_КЗ = 540·е ^j21° Ом. Определить первичные и вторичные параметры линии.

Решение

1. Определяем вторичные параметры линии.

Z_с = = 692·е ^-j7° Ом, th gl = = 0,780·е ^j28° = 0,688 + j0,366;

=  = 3,6·е ^{j61,83° = j1,08 рад} = е ^2αl·е ^j2βl.

Это равенство распадается на два: е ^2αl = 3,6

и 2βl = 1,08 + 2πk.

Из первого равенства находим коэффициент затухания

2αl = lп е ^2αl = lп 3,6 = 1,281,  α = 0,004 Нп/км.

Чтобы оценить число k полных 2π радиан на всей длине линии, определим ориентировочно при v = 300∙10 ³ км/с общий сдвиг по фазе на всей длине линии:

2β¢l = 2l∙ = 2∙160∙ = 6,702 рад > 2π , k = 6,702/6,283 ≈ 1.

Следовательно: 2βl = 1,08 + 2π∙1, откуда β = 0,023 рад/км.

Таким образом, Z_с = 692·е ^-j7° Ом,

γ = α + jβ = 0,004 + j0,023 = 0,0233е ^j80,13° 1/км.

2. Определяем первичные параметры линии:

Z₀ = r₀ + jωL₀  =g ×Z_c = 0,0233е ^j80,13°∙692е ^-j7° = 16,12е ^j73,13° = 4,68 + j15,43 Ом,

Y₀ = g₀ + jωC₀ = g /Z_c = 0,0233е ^j80,13°/(692е ^-j7°) =

= 33,67∙10 ^-6·е ^j87,13° = (1,68 + j33,63)∙10 ^-6 См/км.

С учётом частоты ω = 2π∙f = 6283 рад/с окончательно получаем:

r₀ = 4,68 Ом/км,                                  g₀ = 1,68∙10 ^-6 См/км,

L₀ = 15,43/6283 Гн/км = 2,46 мГн/км, C₀ = 33,63∙10 ^-6/6283 Ф/км = 5,35 нФ/км.

Задача8.2. Из опытов холостого хода и короткого замыкания для линии связи длиной l = 120 км на частоте 800 Гц найдено: Z_ХХ = 182е ^j3,55° Ом, Z_КЗ = 209е ^-j22,1° Ом. Требуется определить вторичные и первичные параметры линии, а также вычислить входное сопротивление линии, если её нагрузить на Z_Н = 2Z_С.

Ответы: Z_С = 195е ^-j9,28° Ом, γ = 8,93∙10 ^-3 + j18,40∙10 ^-3 1/км;

r₀ = 2,3 Ом/км, g₀ = 30∙10 ^-6 См/км, L₀ = 0,65 мГн/км, C₀ = 20 нФ/км,

Z_ВХ = 191е ^-j5° Ом.

ЗАДАЧА8.3. Экспериментальным путём удалось получить некоторые параметры линии связи длиной l =140 км, работающей на частоте f =1500 Гц: Z_C = 710×e ^-j9° Ом, Z₀= 19,2×e ^j70° Ом/км. Требуется рассчитать первичные и вторичные параметры, определить входное сопротивление в режиме холостого хода и в режиме короткого замыкания.

Решение

Угловая частота w = 2pf = 2p ×1500 = 9425 рад/с.

Поскольку Z₀= r₀ + jwL₀ = 6,57 + j18,04 Ом/км, то первичные продольные параметры

r₀ = Re(Z₀) = 6,57 Ом/км, L₀ = Im(Z₀) = = 1,91×10 ^–3 Гн/км.

Далее из Z_С = находим

Y₀= g₀ + jwC₀ = = = 38,1×10 ^–6×e ^j88° = (1,33 + j38,08)×10 ^–6 Cм/км.

Отсюда поперечные первичные параметры

g₀ = Re(Y₀) = 1,33×10 ^–6 Cм/км, C₀ = Im(Y₀) = ×10 ^–6 = 4,04×10 ^–9 Ф/км.

Вторичные параметры:

- характеристическое сопротивление Z_C = 710×e ^–j9° Ом,

- коэффициент распространения

g = = = 27,1×10^-3×e ^j79° = (5,16 + j26,55)×10^-3 1/км.

Отсюда коэффициент затухания – a = Re(g) = 5,16×10 ^–3 Нп/км,

коэффициент фазы – b = Im(g) = 26,55×10 ^–3 рад/км.

Вычисляем гиперболические функции: gl = 0,722 + j3,717;

e^gl = 2,059×e ^j213° = -1,727 – j1,121;      e^–gl = 0,486×e ^–j213° = -0,407 + j0,265;

sh gl = ½[e^gl – e^–gl] = -0,660 – j0,693 = 0,957×e ^-j133,6°;

ch gl = ½[e^gl + e^–gl] = -1,067 – j0,428 = 1,150×e ^-j158,1°;

th gl = sh gl/ch gl = 0,832×e ^j24,5°.

Сопротивления холостого хода и короткого замыкания:

Z_1X= Z_C /th gl = 710×e ^–j9°/(0,832×e ^j24,5°) = 854×e ^–j33,5° Ом,

Z_1К = Z_C th gl = 710×e ^–j9°×0,832×e ^j24,5° = 591×e ^j15,5° Ом.

ЗАДАЧА8.4. Для двухпроводной воздушной линии связи известны вторичные параметры на частоте 50 Гц:

Z_C = 440×e ^–j10° Ом,  g = (4 + j18)×10 ^–3 1/км.

Эта линия работает на постоянном токе и питает нагрузку r_Н = 400 Ом. Напряжение на входе линии u₁ = 600 В. Определить u₂ и I₁, если длина линии l = 200 км.

Решение

Определим первичные параметры линии r₀и g₀, которые при работе линии на постоянном токе останутся теми же:

r₀= Re(g ·Z_C) = Re(18,44·10 ^-3·e ^j77,5°·440·e ^–j10°) = 3,105 Ом/км,

g₀= Re = Re = 1,826·10 ^-6 Cм/км.

Вторичные параметры линии при работе на постоянном токе:

Z_C = = = 1303 Ом,

g = = = 2,382·10 ^-3 1/км.

Напряжение в конце линии и ток в начале линии найдём, используя основные уравнения длинной линии в гиперболических функциях с учётом того, что I₂ = u₂/r_Н:

u₁ = u₂·ch gl + I₂Z_C·sh gl = u₂·ch gl + Z_C·sh gl = u₂·(ch gl + sh gl),

отсюда искомое напряжение

u₂ = = = 220 В.

Ток в начале линии

I₁= ·shgl + I₂·chgl = ·shgl + ·chgl = ·0,4945 + ·1,116 = 0,697 А.

Задача8.5. Телефонная линия длиной 25 км на частоте 800 Гц обладает параметрами: Z_С = 366,2е ^-j40,58° Ом, γ = (36,15 + j41,75)∙10 ^-3 1/км. Определить напряжение, ток и мощность сигнала на входе линии, если линия подключается к источнику постоянного тока при r_н = 1500 Ом и токе I₂ = 50 мА.

Ответы: U₁ = 100,4 В, I₁ = 51,75 мА, Р₁= 5,196 Вт.

Задача8.6. Определить сопротивления Т- и П-схем замещения ЛРП длиной l = 400 км с параметрами:

Z_С = 391е ^-j3,75° Ом   и   γ = (0,187 + j1,058)∙10 ^-3 1/км.

Ответы:   сопротивления  Т-схемы  замещения (рис. 8.1,а): Z_1Т = Z_2Т = = 20,74 + j82,69 Ом, Z_0Т = 92,4 – j932,1 Ом; сопротивления П-схемы замещения (рис. 8.1,б): Z_1П = Z_2П = 206 – j1781 Ом, Z_0П = 37,1 + j158,9 Ом.

ЗАДАЧА8.7. Трёхфазная сталеалюминиевая воздушная линия электропередачи длиной 300 км имеет следующие параметры (на фазу):

r₀ = 0,08 Ом/км, g₀ = 3,75×10 ^–8 Cм/км, wL₀ = 0,42 Ом/км, wC₀ = 2,7 мкСм/км.

Вычислить вторичные параметры линии, фазовую скорость и длину волны.

Найти фазное напряжение, ток и активную мощность в начале линии, КПД, если на приёмном конце линейное напряжение 330 кВ, активная мощность 300 МВт и коэффициент мощности нагрузки равен 0,92.

Вычислить комплексы напряжения падающей и отражённой волн в начале и в конце ЛЭП.

Решение

Предполагаем, что нагрузка линии симметрична, соединена звездой. Поэтому расчет выполним для одной фазы.

Рассчитаем вторичные параметры линии:

- характеристическое сопротивление

Z_C = = = = 398×e ^–j5° Ом,

- коэффициент распространения

g = = =

= 1,07×10 ^–3×e ^j84,2° = (0,108 + j1,069)×10 ^–3 1/км.

Отсюда коэффициент затухания – a = Re(g) = 0,108×10 ^–3 Нп/км,

коэффициент фазы – b = Im(g) = 1,069×10 ^–3 рад/км.

Фазовая скорость и длина волны:

v = = = 294 000 км/с; λ = = = 5880 км.

Вычисляем гиперболические функции: gl = 0,033 + j0,321;

e^gl = 1,033×e ^j18,4° = 0,980 + j0,326;      e^–gl = 0,968×e ^-j18,4° = 0,919 – j0,305;

sh gl = ½[e^gl – e^–gl] = 0,031 + j0,316 = 0,317×e ^j84,4°;

ch gl = ½[e^gl + e^–gl] = 0,949 + j0,01 = 0,950×e ^j0,62°.

Получим комплексы фазных напряжения и тока в конце линии:

u_2Ф = = = 190,5 кВ; cosj ₂= 0,92, поэтому j ₂= 23,1°;

I_2Ф = = = 0,571 кА; y_i2 = y_u2 – j ₂= -j ₂;

I_2Ф = I_2Ф·e ^-jj2 = 0,571×e ^–j23,1° кА.

По основным уравнениям длинной линии в гиперболических функциях (8.4) рассчитаем комплексы фазных напряжения и тока в начале линии:

u_1Ф = u_2Ф·ch gl + I_2ФZ_C·sh gl =

= 190,5·0,95×e ^j0,62° + 0,571×e ^–j23,1°·398×e ^–j5°·0,317×e ^j84,4° = 229,3·e ^j15,6° кВ;

I_1Ф = ·sh gl + I_2Ф·ch gl = ·0,317×e ^j84,4° + 0,571×e ^–j23,1°·0,95×e ^j0,62° =

= 0,505×e ^-j6,3° кА.

Активная мощность в начале линии

Р₁= 3Re(u_1Ф· ) = 3·229,3·0,505·cos(15,6° + 6,3°) = 322 МВт.

Коэффициент полезного действия линии

h = Р₂/Р₁= 300/322 = 0,93.

Электромагнитные процессы в длинной линии рассматриваются как результат наложения падающей (прямой) и отражённой (обратной) волн –

u = u_отр + u_пад = А₁e ^gх + А₂e ^-gх,

I = -I_отр + I_пад = - e ^gх + e ^-gх,

где А₁ и А₂ – постоянные интегрирования, которые определяются, например, через напряжение и ток в конце линии:

А₁= e ^-gl = ·0,968×e ^-j18,4° = 51,9×e ^j76,8°;

А₂= e ^gl = ·1,033×e ^j18,4° = 209,3×e ^j3,1°.

В начале линии х = 0, поэтому

u_пад(х = 0) = А₂= 209,3×e ^j3,1° кВ,  u_отр(х = 0) = А₁= 51,9×e ^j76,8° кВ,

I_пад(х = 0) = u_пад(х = 0)/Z_C = 0,526×e ^j8,1° кA,

I_отр(х = 0) = u_отр(х = 0)/Z_C = 0,13×e ^j81,8° кA.

В конце линии х = l, поэтому

u_пад(х = l) = А₂·e ^-gl = = 202,6×e ^–j15,3° кВ,

u_отр(х = l) = А₁·e ^gl = = 53,6×e ^j95,2° кВ,

I_пад(х = l) = u_пад(х = l)/Z_C = 0,509×e ^–j10,3° кA,

I_отр(х = l) = u_отр(х = l)/Z_C = 0,135×e ^j100,2° кA.

Как и следовало ожидать, из-за потерь в линии падающая волна уменьшается к концу линии, а отражённая волна затухает в направлении от конца линии к началу.

ЗАДАЧА8.8. В конце линии задачи 8.7 произошло: а) отключение нагрузки; б) трёхфазное короткое замыкание. Для каждого случая определить линейные напряжения и токи в начале и в конце линии, если фазное напряжение на входе осталось таким, как рассчитано в задаче 8.7.

Определить также значения напряжения и тока падающей и отражённой волн в конце линии.

Решение

При решении задачи воспользуемся основными уравнениями длинной линии в гиперболических функциях (8.4).

а) при отключении нагрузки (режим холостого хода) ток в конце линии

I_2Ф = 0, поэтому

u_2Ф = = = 241×e ^j15° кВ,   u_2Л = u_2Ф = ·241 = 418 кВ;

I_1Ф = sh gl = ·0,317×e ^j84,4° = 0,192×e ^j104,4° кА, I_1Л = I_1Ф = 0,192 кА.

В режиме холостого хода коэффициент отражения +1, то есть падающая волна отражается полностью, причём без изменения знака. Поэтому

u_пад(х = l) = u_отр(х = l). С учётом этого

u_2Ф = u_пад(х = l) + u_отр(х = l) = 2u_пад(х = l) = 241×e ^j15° кВ,

откуда u_пад(х = l) = u_отр(х = l) = u_2Ф/2 = 120,5×e ^j15° кВ,

I_пад(х = l) = I_отр(х = l) = u_пад(х = l)/Z_C = 0,303×e ^j10° кА.

б) при коротком замыкании напряжение в конце линии

u_2Ф = 0, поэтому

I_2Ф = = = 1,817×e ^–j63,8° кА,   I_2Л = I_2Ф = 1,817 кА;

I_1Ф = I_2Ф·сh gl = 1,817×e ^–j63,8°·0,95×e ^j0,6° = 1,726×e ^–j63,2° кА, I_1Л = I_1Ф = 1,726 кА.

В режиме короткого замыкания коэффициент отражения равен -1. Поэтому I_пад(х = l) = -I_отр(х = l). С учётом этого

I_2Ф = I_пад(х = l) – I_отр(х = l) = 2I_пад(х = l) = 1,817×e ^–j63,8° кА,

откуда I_пад(х = l) = -I_отр(х = l) = I_2Ф/2 = 0,909×e ^–j63,8° кА,

u_пад(х = l) = -u_отр(х = l) = I_пад(х = l)·Z_C = 362×e ^–j58,8° кВ.

Задача8.9. В режимах а) холостого хода и б) короткого замыкания определить линейные напряжения и токи в начале и в конце линии задачи 8.8, если её длина 900 км, а фазное напряжение на входе u_1Ф = 229,3 кВ.

Ответы:  сh gl = 0,574 + j0,080, sh gl = 0,056 + j0,824;

а) u_2Л = 685 кВ; I₁= 821 А; б) I₂= 697 А; I₁= 404 А.

Сравнивая результаты расчётов двух однотипных линий разной длины (в задаче 8.8 длина линии 300 км, в задаче 8.9 – 900 км), видим, что во втором случае резко выросли напряжение в конце линии и ток в начале линии в режиме холостого хода при значительном уменьшении тока в режиме короткого замыкания. Можно сделать вывод, что, начиная с некоторого значения длины линии, режим холостого хода в высоковольтной ЛРП оказывается опаснее режима короткого замыкания.

Задача8.10. Для трёхфазной ЛЭП, согласованной с нагрузкой, известны комплексы фазного напряжения в начале линии U₁= 100 кВ и фазного тока в конце линии i₂ = 190е ^–j90° A. Определить КПД линии, если её характеристическое сопротивление Z_C = 500е ^–j10° Ом.

Решение

Поскольку линия согласована с нагрузкой, сопротивление нагрузки равно характеристическому, и тогда напряжение в конце линии

U₂= i₂·Z_C = 0,19е ^–j90°·500е ^–j10° = 95е ^–j100° кВ.

Поскольку при согласованной нагрузке U₂= U₁e ^-al, то

e ^-al = U₂/U₁ = 95/100 = 0,95.

КПД линии h = e ^-2al =0,95²= 0,903.