Уравнения пассивных четырёхполюсников с характеристи-ческими параметрами

ЗАДАЧА 5.16. Для схемы задачи 5.1 рассчитать характеристические параметры   Z_1С,  Z_2С,  Г,  а,  b.  При напряжении на зажимах согласованной нагрузки U₂ = 100 В определить U₁, I₁,  используя основные уравнения четырёхполюсника с характеристическими параметрами.

Решение

При решении задачи 5.1 были определены коэффициенты четырёхполюсника:

А = ×е ^–j45°, В = 10 ×е ^–j45° Ом, С = 0,05×е ^–j90° См,   D = 1.

Воспользуемся полученными значениями для расчёта характеристи-ческих параметров.

Характеристическое сопротивление со стороны входных зажимов

Z_1С = = = 10 ×е ^j0° = 10  Ом,

со стороны выходных зажимов

Z_2С = = = 20×е ^j45° Ом.

Заметим, что извлечение корня из комплексного числа приводит к бесконечно большому количеству ответов.

Характеристические сопротивления имеют другое название: волновые сопротивления той среды, в которой распространяются электромагнитные волны: Z_С = Z_В = = Z_С ·е ^jjс, где U_волны, I_волны – комплексы напряжения и тока движущейся волны.

Как известно из курса ТОЭ, для любой среды при положительном моду-

ле Z_С (полное сопротивление) аргумент j_С комплексного числа не может превышать 90°. По этому принципу осуществлён отбор приведенных ранее числовых значений для Z_1С и Z_2С.

Постоянная передачи проходного четырёхполюсника

Г = ln = ln =

= ln .

В результате под знаком натурального логарифма могут находиться 4 числа:

1) 1,099 – j1,099 = 1,554×е ^-j45°,         2) 0,455 + j0,455 = 0,64×е ^j45°,

3) -0,455 – j0,455 = 0,64×е ^–j135°,    4) -1,099 + j1,099 = 1,554×е ^j135°.

Комплексное число в показательной форме записи имеет выражение

M = m×е ^jm.

Так как Г = lnM и Г = a + jb, то a = ln(m) нп  и b = m рад. кроме того, коэффициент затухания a > 0 для схемы с потерями, исходя из физического смысла: при движении волны в среде с потерями её энергия уменьшается.

Для чисел п.2 и п.3 расчётов a = ln0,64 = -0,446 < 0, что противоречит физике процесса.

Остаётся единственный ответ a = ln1,554 = 0,441 нп, рассчитанный при логарифмировании чисел п.1 и п.4.

При этом получаем 2 значения коэффициента фазы:

b₁= -45° = -0,785 рад < 0, b₂= 135° = 2,36 рад > 0.

Отбор единственного значения b (положительного или отрицательного) выполним с помощью векторной диаграммы четырёхполюсника, согласованного с нагрузкой (рис. 5.18).

На векторной диаграмме показаны углы между напряжениями U₂ и U₁:

+ b < 0,

между токами I₂ и I₁: + b < 0.

U₁ = ·U₂е ^Г , I₁ = ·I₂е ^Г ,     а = Z_2C.

Подсчитаем = = -22,5°, тогда = +22,5°.

Так как угол между токами + b = (+22,5° + b) < 0, то b < 0.

Остаётся один ответ: b = b₁= -0,785 рад, а постоянная передачи

Г = a + jb = 0,441 – j0,785.

Напряжение и ток на входе четырёхполюсника при согласованной нагрузке:

U₁ = ·U₂е ^Г  = ·100е ^0,441×е ^-j45° = 130,7×е ^–j67,5° В,

I₁ = = = = 9,24×е ^–j67,5° А.

ЗАДАЧА 5.17. Определить характеристические параметры четырёхпо-люсника рис. 5.19,а, если r₁ = r₂ = 10 Ом,   x_L = 20 Ом,   x_C = 10 Ом.

Решение

Расчёт выполним с помощью входных сопротивлений четырёхполюсника.

Z_1X = = = 5 + j5 = 5 ×e ^j45° Ом,

Z_1К = , где Z = jx_L + = j5 + = 5 + j15 Ом,

тогда Z_1К = = = ×e ^j26,56° Ом.

Z_2X = r₂ + = 10 + = 15 – j15 = 15 ×e ^-j45° Ом,

Z_2К = r₂ + = 10 + = 10 – j20 = 10 ×e ^–j63,44° Ом.

Характеристические сопротивления

Z_1С = = = 7,26×e ^j35,78° Ом,

Z_2С = = = 21,78×e ^-j54,22° Ом.

Далее  thГ = = = 1,027×e ^–j9,22° = 1,013 – j0,165,

e ^2Г= e ^2а·e ^j2b = = = = -12,17×e ^j80,81°.

Этот ответ необходимо записать с положительным модулем, так как e ^2а > 0, для чего к аргументу требуется добавить ±180°.

Получаем e ^2а = 12,17, откуда коэффициент затухания четырёхполюс-ника  а = ½·ln12,17 = 1,25 Нп.

Для определения коэффициента фазы получаем два соотношения

e ^j2·b1 = e ^j260,81°;  e ^j2·b2 = e ^–j99,19°,

из которых получаем b₁ > 0, b₂ < 0.

Для определения знака коэффициента фазы построим векторную диаграмму четырёхполюсника при Z₂ = Z_2С (согласованный режим работы четырёхполюсника) (рис. 5.19,б). При этом основные уравнения четырёх-полюсника приобретают вид: U₁ = ·U₂е ^Г , I₁ = ·I₂е ^Г .

Выполним вычисления:

= = +45°, а = -45°.

На векторной диаграмме (рис. 5.19,б) угол между векторами токов I₂ и I₁ + b > 0, следовательно, b > 0, так как = -45° < 0.

Таким образом, искомая величина b = ½·260,81° = 130,4° = 2,276 рад,

а постоянная передачи Г = а + jb = 1,25 + j2,276.

Замечание. При подсчёте постоянной передачи из формулы

e ^2Г= e ^2а·e ^j2b = = m·e ^{j(m +k·360°)}

для аргумента комплексного числа получается бесконечное число ответов:

b = ½·m + k ·180°.

Если схема четырёхполюсника работает при фиксированной частоте, то практическое значение имеет только знак постоянной фазы при условии, что |b| < 180°.

При изменяющихся частотах требуется строить частотные характеристи-

ки электрических устройств, так как в зависимости от числа реактивных элементов схемы четырёхполюсника при изменении частоты w(0 … ¥) возможно изменение b(w) за пределы ±180°. (см. примеры исследования в разделе «Электрические фильтры»).

ЗАДАЧА 5.18. Для симметричного четырёхполюсника по опытам х.х. и к.з. найдено:

Z_X = 27,63×e ^+j26,17° Ом, Z_К = 45,1×e ^+j61° Ом.

Требуется определить характеристические параметры 4х-полюсника.

Ответ: Г = а + jb = 0,816 + j1,13, Z_С = 35,3×e ^j43,59° Ом.

ЗАДАЧА 5.19. Четырёхполюсник задачи 5.17 (Z_1С = 7,26×e ^j35,78° Ом, Z_2С = 21,78×e ^-j54,22° Ом, Г = а + jb = 1,25 + j2,276) нагружен на сопротивление Z₂= 40 + j30 Ом.  Напряжение на входе  U₁ = 220 В.  Используя основные уравнения с характеристическими параметрами, определить I₁, P₁, U₂, I₂, P₂.

Решение

Исходные уравнения: U₁ = (U₂×chГ + I₂×Z_2С ×shГ),

I₁ = ( ×shГ + I₂×chГ), U₂ = I₂×Z₂.

Рассчитаем числовые значения гиперболических функций комплексного аргумента: Г = а + jb = 1,25 + j2,276 = 1,25 + j130,4°.

chГ = ch(а + jb) = ch(а)×cos(b) + jsh(а)×sin(b) =

= ch1,25×cos130,4°+ jsh1,25×sin130,4°= -1,225 + j1,22 = 1,73×e ^j135,1°,

shГ = sh(а + jb) = sh(а)×cos(b) + jch(а)×sin(b) =

= sh1,25×cos130,4°+ jch1,25×sin130,4°= -1,038 + j1,438 = 1,77×e ^j125,8°.

U₂ = =

= = 216,4×e ^-j154,6° B.

I₂ = = = 4,33×e ^-j191,5° A,

I₁ = × =

= 34,76×e ^–j41,26° A.

Активная мощность на входе четырёхполюсника

P₁= Re(U₁× ) = Re(220×34,76×e ^j41,26°) = 5749 Bт;

активная мощность на выходе P₂= I₂²×Re(Z₂) = 4,33²×40 = 750 Bт.

Фактическое ослабление сигнала по активной мощности

a_факт = ½×ln = ½×ln = 1,02 Нп.

ЗАДАЧА 5.20. С помощью рассчитанных в задаче 5.17 характеристи-ческих параметров четырёхполюсника определить А-коэффициенты четырёх-полюсника рис. 5.19,а.

Решение

А = ×chГ = ×1,73×e ^j135°= 1×e ^j180°= -1.

Этот коэффициент легко проверяется по векторной диаграмме четырёхполюсника для режима холостого хода.

В = ×shГ = ×1,77×e ^j125,8°= 22,3×e ^j116,6° Ом,

C = = = 0,14×e ^j135° Cм,

D = ×chГ = ×1,73×e ^j135°= 3×e ^j90°.

ЗАДАЧА 5.21. Для трансформато-ра рис. 5.20 определить коэффициенты A, В, C, D и характеристические парамет-ры, если:  r₁ = 6 Ом, r₂ = 8 Ом, 

x₁ = 20 Ом, x₂ = 12 Ом, x_M = 8 Ом.

Ответы: А = 2,61×e ^–j16,7°;

В = 33,1×e ^j28,9° Ом; С = -j0,125 См; D = 1,8 ×e ^–j33,7°;

Z_1С = 19,6×e ^j67,95° Ом, Z_2С = 13,5×e ^j50,95° Ом, Г = А + jВ = 1,434 – j0,485.

Задача 5.22. Для определения характеристических параметров симметричного четырёхполюсника в опытах холостого хода и короткого замыкания получено:Z_1X = j10 Ом, Z_2К = 8,66 + j5 Ом.

Требуется определить характеристические параметры четырёхполюсника, записать уравнения через гиперболические функции.

Ответы:  Z_С = 10×e ^j60° Ом, Г = А + jВ = 0,658 – j0,785.

Задача 5.23. На выходе симметричного четырёхполюсника, нагруженного на сопротивление  Z_Н = Z_С и имеющего коэффициенты   А = 1 + j1, В = 10 + j10 Ом, протекает ток I₂ = 2 A. Рассчитать ток и напряжение на входе четырёхполюсника.

Ответы:  Z_C = 9,46×e ^–j13,28° Ом, U₁ = 54,65×e ^j38,52° B, I₁ = 5,777×e ^j51,8° A.

Задача 5.24. У симметричного четырёхполюсника известны характе-ристические параметры:

Z_C = 9,461×e ^–j13,28° Ом,      Г = 1,061 + j0,905 = 1,394×e ^+j40,45°.

Определить А-коэффициенты и составить Т-схему замещения.

Ответы:  А = D = chГ = 1 + j1, В = 10 + j10 Ом, C = 0,05 + j0,15 Cм,

Z_1T = Z_2T = (А – 1)/C = 6 + j2 Ом,  Z_0T = C ^-1 = 2 – j6 Ом.

Задача 5.25. Для ослабления сигнала на а = = 17,4 дБ применён симметричный Т-образный ат-тенюатор (четырёхполюсник, работающий на постоянном токе) с характеристическим сопротивлением Z_С = 100 Ом. Рассчитать параметры схемы аттенюатора (рис. 5.21) и определить мощность согласованной нагрузки, если мощность источника питания 200 мВт.

Методические указания: следует воспользоваться соотношениями, справедливыми для согласованного режима:   Z₁ = Z_С,   КПД  h = e ^-2а;  при работе четырёхполюсника на постоянном токе  b = 0,  Г = а.

Ответы:  Р₂ = 3,66 мВт, Z_1T = Z_2T = r/2 = 76,1 Ом, Z_0T = g ^-1 = 27,8 Ом.