Основные теоретические положения

ПАССИВНЫЕ ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКИ И ФИЛЬТРЫ

Четырёхполюсники

Основные теоретические положения

Четырёхполюсник (4П)– это часть электрической цепи, у которой выделены четыре зажима (полюса) для подключения к остальной схеме.

В этой главе рассматриваются линейные пассивные четырёхполюс-ники, имеющие пару входных и пару выходных зажимов и работающие в установившемся режиме при гармоническом воздействии или в цепях постоянного тока (частный случай гармонических).

Существуют 3 режима работы пассивных четырёхполюсников (рис. 5.1):

1. Режим прямой передачи энергии: источник подключается к зажимам 1-1', а приёмник – 2-2'. Режим характеризуется системой U₁, U₂, I₁, I₂.

2. Режим обратной передачи энергии: вход – 2-2', выход – 1-1'. Режим характеризуется системой U₂, U₁, I₂', I₁'.

3. Режим питания с двух сторон. К зажимам 1-1' и 2-2' подключены источники. Режим характеризуется системой I₁, U₁, U₂, I₂'.

Четырёхполюсник может быть охарактеризован одним из следующих способов: а) параметрами одной из форм основных уравнений; б) характеристическими параметрами; в) Т- или П-схемой замещения; г) сопротивлениями холостого хода и короткого замыкания. Существуют формулы однозначного эквивалентного перехода от одного способа описания к любому другому.

Два четырёхполюсника считаются эквивалентными, если они имеют одинаковые: а) параметры одной из форм основных уравнений, или б) характеристические параметры, или в) сопротивления схем замещения, или г) параметры холостого хода и короткого замыкания.

Системы основных уравнений. В зависимости от режима питания и представляемого устройства используются 6 форм уравнений, называемых основными уравнениями четырёхполюсника и связывающих величины U₁, U₂, I₁, I₂: A, B, Z, Y, H, G-формы уравнений.

Для 1 режима используется A-форма уравнений, коэффициенты A₁₁, A₁₂, A₂₁, A₂₂ (или A, B, C, D)[1] которой есть комплексные числа с различными размерностями:

U₁ = f(U₂, I₂), или U₁ = A₁₁·U₂ + A₁₂·I₂, или U₁ = A·U₂ + В·I₂,

I₁ = f(U₂, I₂);            I₁ = A₂₁·U₂ + A₂₂·I₂;             I₁ = С·U₂ + D·I₂.

Коэффициенты обладают свойством

A·В – С·D = 1 – уравнение связи.

Для режима 2 используется В-форма:

U₂ = В₁₁·U₁ + В₁₂·I₁',   или  U₂ = D·U₁ + В·I₁',

I₂' = В₂₁·U₁ + В₂₂·I₁';                 I₂' = С·U₁ + А·I₁'.

Остальные формы для третьего режима:

U₁ = Z₁₁·I₁ + Z₁₂·I₂', I₁= Y₁₁·U₁ + Y₁₂·U₂, U₁ = Н₁₁·I₁ + Н₁₂·U₂,  I₁ = G₁₁·U₁ + G₁₂·I₂',

U₂ = Z₂₁·I₁+ Z₂₂·I₂', I₂' = Y₂₁·U₁+ Y₂₂·U₂; I₂' = Н₂₁·I₁ + Н₂₂·U₂; U₂= G₁₁·U₁ + G₁₂·I₂'.

В учебниках приводятся формулы по которым осуществляется переход от коэффициентов одной формы к коэффициентам любой другой формы. Чаще используется А-форма.

Характеристические параметры четырёхполюсника включают:

1. Характеристическое (волновое) сопротивление со стороны входных зажимов:                 Z_1С = = .

2. Характеристическое (волновое) сопротивление со стороны выходных зажимов: Z_2С = = .

3. Постоянную передачи Г = ln = ln ,

причём Г = a + jb (Г = A + jB, g = a + jb) и

коэффициент затухания (постоянная ослабления) a измеряется в неперах (Нп), а коэффициент фазы (постоянная фазы) b – в рад или град.

Основные уравнения четырёхполюсника с характеристическими параметрами имеют следующую редакцию:

U₁= ×(U₂×chГ + Z_С2×I₂×shГ) = A×U₂ + В×I₂;

I₁= ×( ×shГ + I₂×chГ) = С×U₂ + D×I₂,

откуда для прямого питания  Z_1X = = , Z_1К = = Z_1С ×thГ,

для обратного питания          Z_2X = = , Z_2К = = Z_2С ×thГ,

thГ = = = . Тогда e ^2Г = = M×e ^jm = e ^2а×e ^j2b

и а = lnM, b = m.

A₂₁ = Y_0Т, A₂₂ = 1 + Z_2Т ·Y_0Т, A₁₁ = 1 + Z_1Т ·Y_0Т,   A₁₂ = Z_1Т + Z_2Т + Z_1Т ·Z_2Т ·Y_0Т;

Z_0Т = 1/A₂₁,   Z_1Т = ,  Z_2Т = ;

A₁₂ = Z_0П, A₁₁ = 1 + Z_0П ·Y_2П, A₂₂ = 1 + Z_0П ·Y_1П, A₂₁ = Y_1П + Y_2П + Z_0П ·Y_1П ·Y_2П;

Z_0П = A₁₂,      Z_2П = ,       Z_1П = .

Сопротивления прямого холостого хода и короткого замыканияZ_1Х и Z_1К и сопротивления обратного холостого хода и короткого замыкания Z_2Х  и Z_2К четырёхполюсника связаны с коэффициентами А-формы следующим образом:

Z_1Х = , Z_1К = , Z_2Х = , Z_2К = .

Отсюда важное соотношение     = .

А₁₁ = или А₁₁ = ;

А₁₂ = Z_2К ×А₁₁; А₂₁ = А₁₁/Z_1Х ; А₂₂ = (Z_2Х/Z_1Х )×А₁₁.

Входные сопротивления четырёхполюсника:

1. Со стороны входа

Z_1вх = ,  где Z₂ = .

2. Со стороны выхода

Z_2вх = , где Z₁ = .

У симметричного четырёхполюсника

A₁₁ = A₂₂; Z_1Х = Z_2Х ; Z_1К = Z_2К ; Z_1С = Z_2С.

Схемы соединения четырёхполюсников показаны на рис. 5.3:

а) параллельное, при этом матричное уравнение параметров сложного 4П:

[Y] = [Y'] + [Y''];

б) последовательное, при этом        [Z] = [Z'] + [Z''];

в) последовательно-параллельное, [H] = [H'] + [H''];

г) параллельно-последовательное,    [G] = [G'] + [G''];

д) каскадное,                                      [A] = [А']·[А''].

Комплексной передаточной функцией (КПФ) Н(jw) (или W(jw))называется отношение комплексных амплитуд (или действующих значений) электрических величин на выходе и входе четырёхполюсника:

Н(jw) = = Н(w)×е ^jj(w) = B(w) + jM(w).

В электросвязи,  телевидении, в  теории  автоматического  управления

четырёхполюсники работают в широком диапазоне частот, поэтому КПФ рассматривают как функции частоты, то есть как частотные характеристики звена или системы. В связи с этим различают:

- Н(jw) – амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ),

- Н(w) = |Н(jw)| – амплитудная частотная характеристика (АЧХ),

- j(w) – фазовая частотная характеристика (ФЧХ),

- B(w) – вещественная частотная характеристика,

- M(w) – мнимая частотная характеристика.

- годограф вектора Н(jw) на комплексной плоскости – диаграмма Найквиста.

Обычно характеристики строят в логарифмическом масштабе, для чего выражение передаточной функции логарифмируют:

lgН(jw) = lg[Н(w)×е ^jj(w)] = lgН(w) + jj(w)lgе.