Уравнения пассивных четырёхполюсников с коэффициентами

Решение

Способ 1. Рассматривается схема, нагруженная произвольным сопротивлением Z₂, когда напряжение U₂ и ток I₂ отличны от нуля. Полученная схема описывается системой уравнений Кирхгофа. Методом подстановки избавляются от промежуточных токов и напряжений, приводя систему уравнений к виду: U₁ = А·U₂ + В·I₂;

I₁ = С·U₂ + D ×I₂.

При произвольной нагрузке в схеме рис. 5.4,а три неизвестных тока: I₁, I₂, I_L. По первому закону Кирхгофа I₁ = I_L + I₂,

по второму закону Кирхгофа        U₂ – I_L×jx_L = 0,

I₁×(r – jx_С ) + U₂ = U₁.

Из этих уравнений получаем:  I₁ = I₂ + = С·U₂ + D·I₂,

откуда С = = = -j0,05 См, D = 1;

U₁ = U₂×(1 + ) + I₂×(r – jx_С ) = А·U₂ + В·I₂.

откуда А = 1 + = 1 + = 0,5 – j0,5 = 0,5 ·е ^-j·45°,

В = r – jx_С = 10 – j10 = 10 ·е ^-j·45° Ом,

Способ 2. Коэффициенты рассчитываются по уравнениям Кирхгофа для режимов холостого хода и короткого замыкания четырёхполюсника, когда основные уравнения принимают вид:

холостой ход U_1Х = А·U_2Х ; короткое замыкание U_1К = В·I_2К ;

I_1Х = С·U_2Х ;                                          I_1К = D ·I_2К .

По схеме рис. 5.4,а, соответственно, получаем:

I_1Х = = С·U_2Х ; U_1Х = I_1Х ×(r – jx_С) + U_2Х  = U_2Х ×(1 + ) = А·U_2Х ;

I_1К = I_2К = D ·I_2К ;     I_1К ×(r – jx_С) = U_1К = В·I_2К = I_2К ×(r – jx_С).

Результаты расчёта коэффициентов совпали с ранее полученными.

Способ 3. Расчёт коэффициентов осуществим по сопротивлениям холостого хода и короткого замыкания четырёхполюсника (рис. 5.4,а):

Z_1Х = r – jx_С + jx_L = 10 – j10 + j20 = 10 + j10 = 10 ·е ^j·45° Ом;

Z_1К = r – jx_С = 10 – j10 = 10 ·е ^-j·45° Ом;

Z_2Х = jx_L = j20 = 20×е ^j·90° Ом;

Z_2К = = = 20 Ом.

Из основных уравнений для режимов холостого хода и короткого замыкания

Z_1Х = А/С, Z_2Х = D/С, Z_1К = В/D, Z_2К = В/А.

Выбирая  любые  три  соотношения  с  учётом свойства коэффициентов

 А∙D – В∙С = 1, получаем сначала один из коэффициентов, а затем через выбранные три соотношения определяем остальные коэффициенты. Например, А = = .

Комплексное число, стоящее в знаменателе, можно в показательной форме записать двояко:

1) j20 – 20 = 20 ·е ^j·135°;   2) j20 – 20 = 20 ·е ^-j·225°.

Соответственно, получаем 2 значения коэффициента А:

А₁ = е ^-j·45°;                           А₂ = е ^j·135°.

Коэффициент А является в общем случае комплексным числом, которое в показательной форме имеет выражение А = а·е ^ja.

Модуль коэффициента а = определяется однозначно. А для аргумента a  получаем два значения:

отрицательное a = a₁= -45°,  положительное    a = a₂= +135°.

Отбор единственного значения a произведём на основании векторной диаграммы цепи (рис. 5.4,б) для режима холостого хода четырёхполюсника, когда U_1Х = А·U_2Х  = а·е ^ja·U_2Х .

По векторной диаграмме получаем a < 0, тогда А = е ^-j·45°;

В = Z_2К∙А = е ^-j·45°×20 = 10 ·е ^-j·45° Ом;

С = = = -j0,05 См;

D = Z_2Х∙С = 20·е ^j·90°(-j0,05) = 1.

Входное сопротивление четырёхполюсника при произвольной нагрузке Z₂ :

Z₁ = = = = = = 20 Ом.

Задача 5.2. Определить коэффициенты A, B, C, D несимметричного четырёхполюсника, собран-ного по Т-схеме (рис. 5.5), если

х₁ = 40 Ом,   r₂ = 10 Ом,   r₀ = х₀ = 40 Ом.

Используя основные уравнения четырёхполюс-ника в форме А, определить ток I_1К  на входе при закороченных выходных зажимах, если U₁ = 100 В.

Ответ: А = -j; В = -j50 Ом;

С = 0,025 – j0,025 См; D = 1,25 – j0,25; I_1К = 2,55 А.

Задача 5.3. Найти элементы матри-цы [H] несимметричного четырёхполюсни-ка, собранного по П-схеме (рис. 5.6), если: r₁ =10 Ом, r₂ =20 Ом, x₂ =20 Ом, х₃ = 40 Ом. Используя основные уравнения четырёхпо-люсника в форме [H], определить напря-жение на входе при разомкнутых выходных зажимах, если U_2X = 100 В. 

Ответ: H₁₁ = 7,69 + j1,54 Ом; H₁₂ = -H₂₁ = 0,231 – j0,15;

H₂₂ = -0,0231 – j0,00962 См; U_1X = 50  B.

ЗАДАЧА 5.4. Для составления П-схемы заме-щения ЛЭП (рис. 5.7) и определения её входного сопротивления поставлены опыты холостого хода и короткого замыкания: U_1X = 30 кВ, I_1Х = 6 А, Р_1Х = 27 кВт, φ_1Х < 0; U_1К = 4,5 кВ, I_1К = 30 А, Р_1К = 69 кВт, φ_1К > 0.

Определить входное сопротивление ЛЭП Z при  R_НГ = 1000 Ом, С_НГ = 10 мкФ.

Ответ: A = D = 0,9885×е ^j0,53°; B = 148,3×е ^j59,80° Ом;

C = 0,198∙10 ^-3×е ^j81,91° См; Z_1П = Z_2П = 10 ⁴×е ^–j81,64° Ом; Z_0П = 148,3×е ^j59,80° Ом;

Z_ВХ = 986×е ^–j19,75° Ом.

ЗАДАЧА 5.5. Известны уравнения А-формы четырёхполюсника:

U₁ = -j50×I₂ + 1,75×U₂;

I₁ = 0,5×I₂ – j0,0025×U₂.

Требуется получить Т-схему замещения четырёхполюсника, а также записать уравнения в Н-форме.

Ответ: Z_1T = j300 Ом,     Z_2T = -j200 Ом,     Z_0T =  j400 Ом;

H₁₁= - j100 Ом, H₁₂ = 2, H₂₁ = -2, H₂₂ = -j0,005 См.

Задача 5.6.  Определить коэффициенты A, B, C, D несимметричного четырёхполюсника рис. 5.8,а, если  х_L = 80 Ом, х_C = 40 Ом, r₃ = r₄ = 40 Ом. 

Решение

Расчёт коэффициентов выполним с помощью входных сопротивлений.

Z_1Х = r₄ +  = 40 + = 40 + 80 = 120 Ом,

Z_2Х = r₄ +  = 60 + = 60 + j20 = 63,25×e ^j18,44° Ом,

Z_2К = = =

= 20 – j33,33 = 38,87×e ^–j59,04° Ом.

А  = = = ±1,342×e ^–j26,57° = ±(1,2 – j0,6).

Получаем два главных значения коэффициента А = ае ^ja:

А₁ = 1,342×e ^–j26,57°; А₂ = 1,342×e ^j153,43°.

Отбор знака угла a осуществляем с помощью векторной диаграммы четырёхполюсника для режима холостого хода (рис. 5.8,б), из которой на основании основного уравнения U_1X = А×U_2X = аU_2X е ^ja следует a < 0, то есть

А = 1,342×e ^–j26,57° = 1,2 – j0,6.

Далее

В = Z_2К ×А = 38,87×e ^–j59,04°×1,342×e ^–j26,57° = 52,16×e ^–j85,61° = 4 – j52 Ом,

С = ×А = = 0,0112×e ^–j26,57° = 0,01 – j0,005 См,

D = ×А = ×1,342×e ^–j26,57° = 0,707×e ^–j8,13° = 0,7 – j0,1.

Первое основное уравнение U₁ = А×U₂ + B×I₂ = А×I₂×Z₂ + B×I₂, откуда

I₂ = = = 2,05×e ^j29,0° А,

действующее значение тока I₂ = 2,05 А.

Задача 5.7. При экспериментальном исследовании четырёхполюсни-ка оказалось, что

Z_1Х = 1000 ×e ^-j45° Ом, Z_1К = 500 ×e ^-j45° Ом, Z_2Х = 1000 ×e ^j45° Ом.

В режиме холостого хода сняты осциллограммы входного и выходного напряжений, приведенные на рис. 5.9,а. Требуется:

1. Определить коэффициенты A, B, C, D.

2. Рассчитать параметры П-схемы замещения четырёхполюсника и решить вопрос о её физической реализуемости.

3. Определить напряжение источника, ток и напряжение приёмника, если i₁(t) = 20sin(wt + 90°) мА, а сопротивление приёмника Z₂= 500 Ом.

4. Определить КПД четырёхполюсника.

Решение

Неизвестное сопротивление

Z_2К = Z_2Х × = 1000 ×e ^j45° = 500 ×e ^j45° Ом,

а коэффициент

А  = = ± ×e ^j45° = ае ^ja.

Получаем два главных значения   

А₁ = + ×e ^j45°; А₂ = - ×e ^j45° = ×e ^j135°.

Знак аргумента комплексного числа установим с помощью осциллограммы рис. 5.7,а, имея в виду, что в режиме холостого хода

U_1X = А×U_2X    и А  = = e ^{j(Yu1x – Yu2x)} = ае ^ja.

На приведенной осциллограмме Y_u1X = 0, Y_u2X = + = +45°.

таким образом,  a = Y_u1X –Y_u2X = 0 – 45° = -45°

и единственный для данного четырёхполюсника коэффициент

А = + ×e ^j45° = 1 – j.

Отметим, что модуль коэффициента  |А|= а  также можно было опре-делить по осциллограмме: а =U_{1X m} =U_{2X m}. Однако точность определения величин по графикам низкая.

Остальные коэффициенты

В = Z_2К ×А = 500 ×e ^-j45°× ×e ^j45° = 1000 Ом,

С = ×А = = 0,001 См,

D = = = ×e ^j45° = 1 + j.

Параметры П-схемы замещения исследуемого четырёхполюсника:

Z_1П = = = -j1000 Ом – ёмкостное сопротивление;

Z_2П = = = j1000 Ом – индуктивное сопротивление;

Z_0П = В =1000 Ом –   активное сопротивление.

Все сопротивления схемы замещения, приведенной на рис. 5.9,б, физически реализуемы.

Комплекс входного тока

I₁= I₁×e ^jYi = ×e ^j90° мA = 10 ^-2 ×e ^j90° A.

Входное сопротивление четырёхполюсника вместе с нагрузкой

Z₁= = = 877×e ^–j52,13° Ом.

Входное напряжение

U₁= I₁×Z₁= 10 ^-2 ×e ^j90°×877×e ^–j52,13° = 12,4×e ^j37,87° B.

Из основного уравнения U₁ = А×U₂ + B×I₂ = U₂×(А + ) получаем

U₂= = = 3,92×e ^j56,31° B.

По закону Ома I₂= = = 7,84×10 ^-3e ^j56,31° A.

Активные мощности:

- на входе четырёхполюсника

P₁= Re(U₁× ) = Re(12,4×e ^j37,87°×10 ^-2 ×e ^-j90°) = 107,7×10 ^-3 Bт;

- на выходе четырёхполюсника

P₂= I₂²r₂= (7,84×10 ^-3)²×500 = 30,73×10 ^-3 Bт.

Коэффициент полезного действия h = = = 0,286.

Определить коэффициенты А, В, С, D  четырёхполюсника.

При нагрузке Z₂= r = 50 Ом её мощность  Р₂ = 450 Bт. Используя ос-новные уравнения, рассчитать активную мощность на входе.

Решение

Устраним индуктивную связь и получим эквивалентную Т-схему четырёхполюсника (рис. 5.10,б), у которого

Z₁ = -jх_С + j(х₁+х_М) = -j35 + j(20 + 10) = -j5 Ом,

Z₂ = -jх_М = -j10 Ом,

Z₀ = j(х₂+х_М) = j(60 + 10) = j70 Ом.

Для Т-схемы четырёхполюсника связь между коэффициентами и сопротивлениями установлена:

A = 1 + = 1 + (-j5)/(j70) = 0,928;

B = Z₁+ Z₂+ = -j5 – j10 + = -j15,70 Ом;

C = = = -j0,0143 См;

D = 1 + = 1 + = 0,857.

Ток нагрузки I₂= = = 3 А.

Примем I₂= 3 А, по закону Ома U₂= I₂×Z₂= 3×50 = 150 B.

Далее U₁= А×U₂ + B×I₂ = 0,928×150 + (-j15,7)×3 = 147×e ^–j18,7° B,

I₁= С×U₂ + D×I₂ = -j0,0143×150 + 0,857×3 = 3,35×e ^–j39,8° А,

P₁= Re(U₁× ) = Re(147×e ^–j18,7°×3,35×e ^j39,8°) = 459 Bт » P₂= 450 Bт.

Обратим внимание, что рассматриваемая схема четырёхполюсника яв-ляется схемой без потерь (без активных сопротивлений), для которой P₁= P₂. Расхождение в 9 Bт появилось вследствие округления результатов вычислений до трёх значащих цифр. При этом относительная погрешность вычислений по мощности составила e % = ×100 = ×100 = 2%, что допустимо при выполнении расчётов с указанной точностью.

ЗАДАЧА 5.9. Определить А-коэффициенты Х-схемы (мостовая схема) четырёхполюсника, пред-ставленного на рис. 5.11, если r = x_L = x_С = 10 Ом.

Указание. При отборе единственного значения коэффициента А рекомендуется построить диаграмму комплексных потенциалов четырёхполюсника для режима холостого хода, приняв j _1¢ = 0.

Ответы: А = 0,6 + j0,8, В = j20 Ом, С = 0,1 + j0,1 См, D = 1 + j2.

Задача 5.10. а) На зажимы источника переменного напряжения с ЭДС Е = 100 В и внутренним сопротивлением Z_в = r_в = 1 Ом подключена нагруз-ка   Z_н = r_н = 9 Ом (рис. 5.12,а). Определить активную мощность приёмника Р_н.

Решениезадания а). Ток в цепи рис. 5.12,а

I = = = 10 А,

активная мощность приёмника Р_н = I ²×r_н = 10 ²×9 = 900 Вт.

Решениезадания б). Нагрузкой генератора в схеме рис. 5.12,б является четырёхполюсник, на выходные зажимы которого подключен приёмник, сопротивление которого Z_н = r_н = 9 Ом. Задачу передачи максимальной мощности от генератора через четырёхполюсник к приёмнику будем решать в два этапа:

1. Подберём такое сопротивление нагрузки на генератор Z₁, при котором на вход четырёхполюсника поступит максимально возможная мощность Р_1max.

На  основании  основных уравнений четырёхполюсника при нагрузке Z₂ = r_н его входное сопротивление

Z₁ = .

Так как четырёхполюсник ещё требуется подобрать, то его коэффициенты можно принимать любыми, изменяя таким образом нагрузку на генератор.

Заметим, что устройство, с помощью которого можно изменить (трансформировать) сопротивление нагрузки, называется трансформатором сопротивления, а задача подбора схемы с заданными свойствами (в рассматриваемом примере четырёхполюсника) называется задачей синтеза электрической цепи.

В разделах курса «Линейные цепи постоянного тока», «Линейные цепи синусоидального тока» изучен вопрос об условиях передачи максимальной активной мощности от активного двухполюсника к пассивному. При полной компенсации реактивной мощности в цепи генератора, что имеет место в условиях рассматриваемой задачи 5.8,а, это условие выражается равенством r_в = r_н.

Таким образом, первое расчётное уравнение для синтеза четырёхполюсника принимает вид: Z₁ = = r_в.                           (1)

2. Рассматривая левую часть схемы рис. 5.12,б по отношению к выход-ным зажимам 2-2¢ четырёхполюсника как эквивалентный генератор с внут-ренним сопротивлением Z₂ пассивной части схемы, запишем условие пере-дачи максимальной мощности от эквивалентного генератора в нагрузку r_н:

Z₂ = = r_н.                                         (2)

Для определения четырёх коэффициентов А, В, С, D  требуется система четырёх линейно независимых уравнений. Третье расчётное уравнение определяется свойством коэффициентов четырёхполюсника

АD – ВС = 1.                                 (3)

Недостающее четвёртое уравнение позволяет нам свободу выбора вплоть до принятия одного коэффициента любым комплексным числом. Таким образом, задача синтеза четырёхполюсника, необходимого для увеличения передаваемой мощности в приёмник, имеет бесконечно большое число решений.

Обычно для получения четвёртого расчётного уравнения поступают одним из двух способов:

1. Синтезируют симметричный четырёхполюсник, когда А = D  и для реализации принимают простейшие из схем: Т-образный или П-образный четырёхполюсник;

2. Принимают коэффициент D = 1, и тогда и Т-, и П-схема превраща-ется в несимметричную Г-схему вида рис. 5.14,а.

Приведём решение обоих вариантов.

1. Синтез симметричного четырёхполюсника.

Коэффициенты искомого четырёхполюсника определяются системой уравнений:

= r_в; = r_н; АD – ВС = 1; А = D.

Приведём подробное решение системы:

А×r_н + В = С×r_в×r_н + D×r_в, учтём А = D, а затем вычтем второе

D×r_в + В = С×r_в×r_н + А×r_н. уравнение из первого. Получим:

А×(r_н – r_в) = А×(r_в – r_н), откуда  А = 0 = D.

Для определения двух оставшихся коэффициентов решаем систему уравнений, в которой учтено А = D = 0:

В = С×r_в×r_н; -ВС = 1, откуда В = ±j , С = ±j ,

причём с учётом   -ВС = 1  знаки при мнимой единице j должны быть одина-ковыми для В и С.

Получаем два варианта решения:

а) А = D = 0;                                б) А = D = 0;

В = +j = j = j3 Ом;      В = -j = -j = -j3 Ом;

С = +j = j  См.                  С = -j = -j  См.

Рассчитываем параметры типовых Т- и П-схем четырёхполюсников по известным коэффициентам:

- для Т-схемы Z_1Т = Z_2Т = = ± j3 Ом, Z_0Т = = j3 Ом.

- для П-схемы Z_1П = Z_2П = = j3 Ом, Z_0П = В = ± j3 Ом.

В ответах верхние знаки относятся к варианту а), нижние – к варианту б). Соответствующие схемы с указанием сопротивлений в Ом приведены на рис. 5.13.

При использовании любой из этих схем Z₁ = r_в = 1 Ом,

ток в цепи генератора станет I₁ = = = 50 А,

активная мощность на входе четырёхполюсника

Р_1max = I ²×Z₁= 50 ²×1 = 2500 Вт.

Так как четырёхполюсник выполнен из реактивных элементов, не имеет потерь, то активная мощность приёмника Р_2max = Р_1max = 2500 Вт 

вместо Р₂= 900 Вт исходной схемы рис. 5.12,а.

2. Синтез Г-схемы четырёхполюсника.

Коэффициенты искомой схемы четырёхполюсника определим решением системы уравнений

= r_в; = r_н; АD – ВС = 1; D = 1.

Из этой системы получаем два варианта решения:

а) А = ; В = j2  Ом; С = j  См; D = 1;

j  См

Этим вариантам соответствуют только две Г-схемы, приведенные на рис. 5.14.

На рис. 5.14 сопротивления индуктивных и ёмкостных элементов представлены в Ом. Здесь так же, как и в случае применения схем рис. 5.13

Р_1max = Р_2max = 2500 Вт, I₁= = = 50 А.

Ток нагрузки можно определить по формуле I₂= .

Например, для схемы рис. 5.14,а он равен

I₂= = ×e ^–j70,53° А.

ЗАДАЧА 5.11. Эквива-лентность четырёхполюсни-ков. Сопротивления элемен-тов на схемах (рис. 5.15) даны в Омах.

Необходимо показать, что приведенные четырёхполюсники эквивалентны.

Указания. Поскольку четырёхполюсники обратимы, достаточно сравнить значения сопротивлений Z_1Х, Z_1К у обоих 4-полюсников.

В нашем примере: Z_1Х = 100 + j200 Ом, Z_1К = 100 – j200 Ом,

Z_2Х = +j100 Ом,      Z_2К = 80 – j 60 Ом.

Значения сопротивлений со вторичных зажимов приведены просто для контроля.

Задача 5.12. Симметричный 4х-полюсник с r_нг = 5 кОм питается от источника Е₁ = 48 В (рис. 5.12б). При замкнутом рубильнике S ток на входе I₁ = 3,2 мA, на выходе I₂ = 1,6 мА.

Определить А-коэффициенты четырёхполюсника и найти токи при разомкнутом рубильнике.

Методические указания: необходимо записать уравнения для режима короткого замыкания. Это позволит найти А-коэффициенты 4-полюсника.

Ответы: I₁ = 3 мA,  I₂ = 1,2 мА.

Задача 5.13. На выходе симметричного 4х-полюсника, нагруженного на сопротивление Z_нг = Z_c и имеющего коэффи-циенты A = 1+ j1, B = 10 + j10 Ом, протекает ток I₂ = 2 A. Рассчитайте ток и напряжение на входе четырёхполюсника.

Ответы: U₁ = 54,65×е ^j38,52° В,

I₁ = 5,777×е ^j51,8° А, Z_c = 9,46×е ^–j13,28° Ом.

Задача 5.14.   Четырёхполюсник с известными  А-параметрами (А = = 0,5; В =10 + j10 Ом;  С = -j0,05 См; D =1 – j1) собран по Т-схеме (рис. 5.17) и нагружен сопротивлением Z_H = 20×е ^+j90° Ом. Требуется рассчитать токи на входе и выходе четырёхполюсника, построить векторную диаграмму.

Методические указания: начать следует с определения сопротивлений четырёхполюсника. Они будут нужны для построения векторной диаграммы.

Ответы: I₁ = 20 – j10 А; I₂ = 10 A. 

Задача 5.15. Для симметричного четырёхполюсника экспериментально установлено, что Z_1Х = 10×е ^+j90° Ом, Z_2К = 10×е ^+j30° Ом. Требуется определить А-параметры четырёхполюсника и угол сдвига фаз между входными напряжением и током при согласованной нагрузке.

 Ответы: А = D = 1·е ^-j30°; В = 10 Ом; С = 0,1×е ^–j120° См; j = j_C = 60°.