Основные теоремы о пределах

Теорема 1.(о единственности предела функции). Функция не может иметь более одного предела.

Следствие. Если две функции f(x) и g(x) равны в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки , то либо они имеют один и тот же предел при , либо обе не имеют предела в этой точке.

Теорема 2.Если функцииf(x) и g(x) имеют пределы в точке , то:

1) предел алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме пределов слагаемых,т.е.

(2)

2) предел произведения функций равен произведению пределов сомножителей, т.е.

(3)

3)предел частного двух функций равен частному от деления предела делимого на предел делителя, если предел делителя не равен нулю,т.е.

(4)

Замечание.Формулы (2) и (3) справедливы для любого конечного числа функций.

Следствие 1.Предел постоянной равен самой постоянной, т.е.

Следствие 2.Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

Теорема 3(о пределе сложной функции). Если существует конечный предел

а функцияf(u) непрерывна в точке , то

Другими словами, для непрерывных функций символы предела и функции можно поменять местами.

Непосредственное применение теорем о пределах, однако, не всегда приводит к цели. Например, нельзя применить теорему о пределе частного, если предел делителя равен нулю. В таких случаях необходимо предварительно тождественно преобразовать функцию, чтобы иметь возможность применить следствие из теоремы 1.

Бесконечно малые функции. Их свойства и сравнение БМФ.

Свойства бесконечно малых функций:

1) Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.

2) Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.

3) Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при х®а.

4) Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.

Сравнение бесконечно малых функций Пусть a(х), b(х) и g(х) – бесконечно малые функции при х ® а. Будем обозначать эти функции a, b и g соответственно. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю.Например, функция f(x) = x¹⁰ стремится к нулю быстрее, чем функция f(x) = x.

Первый замечательный предел, Второй замечательный предел

Эквивалентные, бесконечно малые функции

Односторонние пределы. Понятие непрерывности функции. Точки разрыва и их классификации.

Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственнолевосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (или преде́лом спра́ва).

Определение производное функции. Механический и геометрический смысл производной.

Уравнение касательной и нормали к кривой.

Правила дифференцирования.

Основные правила дифференцирования

Пусть , тогда:

7) Если , то есть , где и имеют производные, то (правило дифференцирования сложной функции).

Производная сложной и обратной функции.

Производные основных элементарных функций. Таблица производных.