Скалярное произведение векторов и его свойства. Выражение скалярного произведения через координаты.

Угол между векторами. Признак перпендикулярности векторов.

Векторное произведение векторов и его свойство. Выражение векторного произведения через координаты. Геометрические приложения векторного произведения.

Смешанное произведение векторов и его свойство. Выражение смешанного произведения через координаты. Геометрические приложения смешанного произведения.

Прямоугольная декартова система координат. Понятие линии. Полярная система координат. Выражение полярных координат через прямоугольные и наоборот.

Понятие ГМТ плоскости, примеры.

Геометрическое место точек - это множество всех точек, удовлетворяющих определённым заданным условиям.

Пример 1. Срединный перпендикуляр любого отрезка есть геометрическое место точек (т.е. множество всех точек), равноудалённых от концов этого отрезка. Пусть PO AB и AO = OB:

Пример 2. Окружность - это геометрическое место точек (т.е. множество всех точек), равноудалённых от её центра (одна из этих точек - А).

Нахождение координат середины отрезка. Нахождение координат точки, делящей отрезок в данном отношении.

Координаты середины отрезка в пространстве

Есть две произвольные точки A1(x1;y1;z1) и A2(x2;y2;z2). Тогда серединой отрезка A1A2 будет точка С с координатами x, y, z, где

Каноническое уравнение прямой (вывод). Параметрическое задание прямой. Уравнение прямой через две точки (вывод).

Каноническое уравнение прямой в пространстве:

где — координаты некоторой фиксированной точки M₀, лежащей на прямой; — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.

Параметрическое уравнение прямой в пространстве:

27)

Общее уравнение прямой и его частные случаи. Условия параллельности и перпендикулярности прямых заданных в общем виде. Направляющий и нормальный вектор прямой. Нахождение их координат из общего уравнения прямой.

Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

(9)

Если уравнения прямых заданы в общем виде (6), то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства

A₁A₂ + B₁B₂ = 0.

Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором.

Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.

Уравнение прямой в отрезках (вывод) Уравнение прямой с угловым коэфицентом. Геометрический смысл углового коэффицента прямой.

Уравнение прямой через точку с данным угловым коэффициентом. Условия параллельности и перпендикулярности прямых, заданных с угловым коэффициентом.

Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k₁ = k₂

В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.